v2 2Tcos??mgcos??m （3）
Rmv2?mgcos? （4） 2Tcos??R式中R是N点处轨道曲线的曲率半径；v为珠子在N处时速度的大小。根据机械能守恒定律可得
v?2gy （5）
3. 求曲车半径R
当绳子断裂时T?Td，由（4）式可见，如果我们能另想其他办法求得曲率半径R与y的关系,则就可能由（4）、（5）两式求得绳子断裂时珠子的纵坐标y。现提出如下一种办法。做一条与小珠轨迹对于x轴呈对称状态的抛物线，如图复解19-7-2所示。由此很容易想到这是一个从高H处平抛物体的轨迹。平抛运动是我们熟悉的，我们不仅知道其轨迹是抛物线，而且知道其受力情况及详细的运动学方程。这样我们可不必通过轨道方程而是运用力学原理分析其运动过程即可求出与N对称的N?点处抛物线的曲率半径R与y的关系，也就是N处抛物线的曲率半径R与y的关系。
设从抛出至落地的时间为t，则有 v0t?l2?h2 由此解得
v0?g(l?h) （7）
?，由机械能守恒定律可得 设物体在N?处的速度为v??v2?2g(H?BN?) （8） v0物体在N?处法线方向的运动方程为
2?2mv mgcos?? （9）
R式中R即为N?处抛物线的曲率半径，从（7）、（8）、（9）式及H?(l?h),可求得 R?122(l?BN?)
cos?这也等于N点抛物线的曲率半径，BN?BN??y，故得 R?2(l?y) （10） cos?4. 求绳被拉断时小珠的位置和速度的大小
16
第十九届全国中学生物理竞赛复赛试卷 第 16 页
把（5）式和（10）式代入（4）式，可求得绳子的张力为 T?mgl （11）
2(l?y)当T?Td时绳子被拉断，设此时珠子位置的坐标为(xd,yd)，由（11）式得 yd?l(1?mg) （12） 2Td代入（1）式，得 xl?hd?mgl()?(l?h)2T d绳子断开时珠子速度的大小为 vd?2gyd?2gl(1?mg2T) d 第十九届全国中学生物理竞赛复赛试卷 第 17 页
13） （14） 17
（
第19届全国中学生物理竞赛复赛试题及解答
