奇点xe为不稳定的焦点。
7.2.2 绘制相平面图的等倾斜线法
??f(x,x?)?0解出x(t)和x?(t)，在x?x?平面绘制相平面图可以采用解析法，由方程?x绘出系统相轨迹。例如，7.2.1节零阻尼二阶系统相平面图的绘制。一般非线性微分方程求解比较困难，实际中通常采用下面将介绍的“等倾斜线法”绘制系统相平面图。
等倾斜线法是一种通过图解方法求相轨迹的方法。由系统微分方程式（7-1）可得出
dx?f(x,x) ?dxx?dx表示相平面上相轨迹的斜率。若取斜率为常数，则上式可改写成 式中，dx???)f(x,x （7-8） ?x式（7-8）为等倾斜线方程。相平面上经过满足上式各点的相轨迹的斜率都等于?。若将这些点连成一线，则此线称为相轨迹的等倾斜线。给定不同的?值，则可在相平面上画出相应的等倾斜线。在各等倾斜线上画出斜率为?的短线段，则可以得到相轨迹切线的方向场。沿方向场画连续曲线就可以得到相平面图。以下举例说明。
例7-2 设系统方程为
????(x?x?)x ?dx??x??(x?x)dx设???dx，则等倾线方程为 dx??x?x （7-9） 1??式（7-9）是直线方程。等倾斜线的斜率为?1/(1??)。给定不同的?，便可以得出对应的等倾斜线斜率。表7-1列出了不同?值下等倾斜线的斜率以及等倾斜线与x轴的夹角?。图7-11画出了?取不同值时的等倾斜线和代表相轨迹切线方向的短线段。画出方向场后，很容易绘制出从一点开始的特定的相轨迹。
表7-1 不同?值下等倾斜线的斜率及?
? ?11??-6.68 -3.75 -2.73 -2.19 -1.84 -1.58 -1.36 -1.18 -1.00 0.18 10° 0.36 20° 0.58 30° 0.84 40° 1.19 50° 1.73 60° 2.75 70° 5.67 80° ? 90° ? ? ?11??-0.82 -0.64 -0.42 -0.16 0.19 0.73 1.75 4.68 ? -5.76 -2.75 -1.73 -1.19 -0.84 -0.58 -0.36 -0.18 0.00 100° 110° 120° 130° 140° 150° 160° 170° 180° ?
图7-11 确定相轨迹切线方向的方向场及相平面上的一条相轨迹
7.2.3 非线性系统的相平面分析
1. 利用二阶线性系统的相轨迹分析一类非线性系统
例7-3 试确定下列方程的奇点及其类型，画出相平面图的大致图形。
??x?sgnx??0 （1）?x??|x|?0 （2）?x解 （1）系统方程可写为
系统的奇点
Ⅰ：xe???1 Ⅱ：xe???1
2系统特征方程为s?1?0，特征根s1,2??j，奇点为中心点。画出系统的相平面图如图
7-12所示。x轴是两部分相轨迹的分界线，称之为“开关线”。上、下两半平面的相轨迹分别是以各自奇点xe?和xe??为中心的圆，两部分相轨迹相互连接成为相轨迹图。由图可见，系统的自由响应运动最终会收敛到(?1,1)之间。奇点在(?1,1)之间连成一条线，称之为奇线。
图7-12 相轨迹图 图7-13 相轨迹图
（2）系统方程可写为
特征方程、特征根和奇点为
2Ⅰ：s?1?0，s1,2??j， 奇点xeI?0（中心点） 2Ⅱ：s?1?0, s1,2??1， 奇点xeII?0 (鞍点)
?轴是开关线，左半平面相轨迹由鞍点决定，右半平画出系统的相平面图如图7-13所示。x面相轨迹由中心点确定。由图可见，系统的自由响应总是会向x轴负方向发散，系统不稳定。 2. 非线性系统相平面分析
大多数非线性控制系统所含有的非线性特性是分段线性的，或者可以用分段线性特性来近似。用相平面法分析这类系统时，一般采用“分区一衔接”的方法。首先，根据非线性特性的线性分段情况，用几条分界线(开关线)把相平面分成几个线性区域，在各个线性区域内，各自用一个线性微分方程来描述。其次，画出各线性区的相平面图。最后，将相邻区间的相轨迹衔接成连续的曲线，即可获得系统的相平面图。
?相平面图。系统例7-4 系统结构图如图7-14所示。试用等倾斜线法做出系统的x?x参数为K?T?M?h?1。
图7-14 非线性系统结构图
解 对线性环节有
KC(s)?s(Ts?1)U(s)(Ts2?s)C(s)?KU(s) ???c??KuTc将x??c代入上式，得出以x为变量的系统微分方程
??x???Ku T?x对非线性环节，有
??M?u????M??代入微分方程，有
?x?h???0?x??h,x
?x??h,???0?x?h,x??x???KM?:T?x??x??KM??:T?x?x?h???0?x??h,x
?x??h???0?x?h,x开关线将相平面分为两个区域，各区域的等倾斜线方程可推导如下：
??x??TⅠ： T?x令 ????dxdx??x??(T???KM ?x?1)xdxdx?dx，得 dx??x?KM （水平线）
T??1??xKM
T??1同理可得Ⅱ区的等倾斜线方程
计算列表（取K?T?M?h?1）
表7-2 例7-4 计算列表
绘制系统相平面图如图7-15所示。由图可见，系统运动最终全部趋向于一条封闭的相轨迹，称之为“极限环”，对应系统的一种稳定的周期运动，即自振。不论初条件怎样，系统自由响应运动最终都是自振。
相平面02
