7.2 相平面法
相平面法是一种在时域中求解二阶微分方程的图解法。它不仅能分析系统的稳定性和自振荡，而且能给出系统运动轨迹的清晰图像。相平面法一般适用于二阶非线性系统的分析。
7.2.1 相平面的基本概念
1. 相平面和相轨迹
设一个二阶系统可以用下面的常微分方程
???f(x,x?)?0 （7-1） x?)是x和x?(0)和x(0)?的线性或非线性函数。来描述。其中f(x,x在一组非全零初始条件下(x?(t)描述。 不全为零)，系统的运动可以用解析解x(t)和x?构成坐标平面，则系统的每一个状态均对应于该平面上的一点，这个平面如果取x和x?平面上描绘出的轨迹，表征系统状态的演变过程，该称相平面。当t变化时，这一点在x-x轨迹就叫做相轨迹（如图7-8(a)所示）。
相平面和相轨迹曲线簇构成相平面图。相平面图清楚地表示了系统在各种初始条件下的运动过程。
例如，研究以方程
???2??x???2x?0 （7-2）x
描述的二阶线性系统在一组非全零初始条件下的运动。当??0时式（7-2）变为
????2x?0 x（7-3）
?(0)?x?0，x(0)?x0，初始条件为 x方程（7-3）对应有一对虚根，即
?p1,2??j?
式（7-3）的解为
图7-8 相轨迹
x?Asin(?t??) （7-4）
式中，
A?x0?2?02x?2，??arctanx0? ?x0设x为描述二阶线性系统的一个变量，取x为描述系统的另一状态变量，即
??xdx ?A?cos(?t??) （7-5）
dt?xx2?()2?A2
从式（7-4）、式（7-5）中消去变量t，可得出系统运动过程中两个状态变量的关系为
?这是一个椭圆方程。椭圆的参数A取决于初始条件
?0。 x0和x选取不同的一组初始条件，可得到不同的A，对应相平面上的相轨迹是不同的椭圆，这样便得到一个相轨迹簇。??0时的相平面图如图7-9所示，表明系统的响应是等幅周期运动。图中箭头表示时间t增大的方向。
2.相轨迹的性质
图7-9 ??0的相平面图
??0，相迹点沿相轨迹向x轴正方向移动，所以上半部分相轨相平面的上半平面中，x??0，相轨迹箭头向左。总之，相迹点在相轨迹上总是按迹箭头向右；同理，下半相平面x??0，因此，相轨迹总是以?90顺时针方向运动。当相轨迹穿越x轴时，与x轴交点处有x方向通过x轴的。
通过相平面上任一点的相轨迹在该点处的斜率?由表达式为
????dt?f(x,x?dx?)dx??
?dxdxdtx?)，只要不同时满足x??0和f(x,x?)?0，则?是一个确定的相平面上任一点(x,x值。这样，通过该点的相轨迹不可能多于一条，相轨迹不会在该点相交。这些点就是相平面上的普通点。
?)?0的点处，?不是一个确定的值。 ??0和f(x,x相平面上同时满足x????f(x,x?)0dx??
?dxx0通过该点的相轨迹有一条以上。这些点是相轨迹的交点，称为奇点。显然，奇点只分布在相
??x??0，故奇点也称为平衡点。 平面的 x轴上。由于奇点处?x对于二阶线性系统，奇点为坐标原点。
??)???2x)dx?f(x,x?(2??x0?|x?0?|x?0?|x?0?|x?0?
??dxxxx0??0??0??0??0xxx3 二阶线性系统的相轨迹
描述二阶线性系统自由运动的微分方程为
2???2??nx???nxx?0 （7-6）
?，则式（7-6）对应的状态方程为 取x1?x，x2?x?1?x2 x2?2???nxx1?2??nx2
合并以上两式，可得
2?2?nx1?2??nx2x ???x1x2?1?由于xdx1dx?2?2，则上式又可写为 ，xdtdt2?nx1?2??nx2dx2 （7-7） ??dx1x2从式（7-7）解得的关系式就是二阶线性系统的相轨迹方程。
式（7-7）实际上表示了二阶系统相轨迹上各点的斜率。从式（7-7）可以看出，在相平面原点处，有x1?0，x2?0，即
dx20?，说明原点是二阶线性系统的奇点（或平衡点）。 dx10二阶线性系统（7-6）的特征方程为
22s2?2??ns??n?0
其特征根为
?1,2????n??n?2?1
二阶线性系统相轨迹的形状和奇点的性质与特征根在复平面上的位置有关。
（1）当??0时，?1、?2为一对共轭纯虚根，系统处于无阻尼运动状态，此时式（7-7）成为
2?nx1dx2 ??dx1x2分离变量后，对上式两侧分别取积分，得
x12?(x2?n)2?R2
式中R?x10?(22x20?n)2，x10、x20为初始状态。上式表明，系统的相轨迹是一簇同心椭圆，
如图7-10（a）所示。在相平面原点处有一孤立奇点，这种奇点称为中心点。每个椭圆对
应一定频率下的等幅振荡过程，线性系统的等幅振荡实际上是不能持续的。
（2）当0???1时，?1、?2为一对具有负实部的共轭复根，系统处于欠阻尼状态。其零输入响应为衰减振荡，收敛于零。对应的相轨迹是一簇对数螺旋线，收敛于相平面原点，如图7-10（b）所示。这时原点对应的奇点称为稳定的焦点。
（a）中心点 （d）鞍点
（b）稳定的焦点 （e）不稳定的焦点
（c）稳定的节点 （f）不稳定的节点
图7-10 二阶线性系统特征根与奇点
（3）当??1时，?1、?2为两个负实根，系统处于过阻尼状态。其零输入响应呈指数衰减状态。对应的相轨迹是一簇趋向相平面原点的抛物线，如图7-10（c）所示。相平面原点为奇点，称为稳定的节点。
2??2??nx???nxx?0，?1、?2为两个符号相反的实根，此（4）若系统的微分方程为?时系统的零输入响应是非周期发散的。对应的相轨迹如图7-10（d）所示。这时奇点称为鞍点，是不稳定的平衡状态。
（5）当?1???0时，?1、?2为一对具有正实部的共轭复根，系统的零输入响应是振荡发散的。对应的相轨迹是发散的对数螺旋线，如图7-10（e）所示。这时奇点称为不稳定的焦点。
（6）当???1时，?1、?2为两个正实根，系统的零输入响应为非周期发散的。对应的相轨迹是由原点出发的发散的抛物线簇，如图7-10（f）所示。相应的奇点称为不稳定的节点。
??(1?x)x??x?0 的奇点，并确定其奇点类型。 x例7-1 求方程 ?2??x??0 得系统奇点为 解 令 ?xxe?0
??f(x?,x)?(1?x2)x??x展开为泰勒级数，保留一次项，有 x在 xe?0 处将????f(0,0)?x?,x)?,x)?f(x?f(x????x |x?0x|x?0x?x??x?x??0??0xx??x??x，特征方程为s2?s?1?0，特征根为 得出奇点处的线性化方程为?xs1,2?13?j 22
相平面02
