解：根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为1，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．
2
90π×1
而正方形ABCD的面积为2×2＝4，4个扇形的面积为4× ＝π，
360
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为4－π，
4－π∴把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝ ．
4
选A．
同类题型2.4 从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一次函数y＝2x?x＋2≤a1
＋a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为 ，且使关于x的不等式组? 有解的概率为
4?1－x≤2a_________．
1
解：当a＝－1时，y＝2x＋a可化为y＝2x－1，与x轴交点为（ ，0），与y轴交点为（0，－1），
2
111
三角形面积为××1＝ ；
224
1
当a＝1时，y＝2x＋a可化为y＝2x＋1，与x轴交点为（－ ，0），与y轴交点为（0，1），
2
111
三角形的面积为××1＝ ；
224
当a＝2时，y＝2x＋2可化为y＝2x＋2，与x轴交点为（－1，0），与y轴交点为（0，2），
1
三角形的面积为 ×2×1＝1（舍去）；
2
?x＋2≤a?x＋2≤－1?x≤－3
当a＝－1时，不等式组? 可化为? ，不等式组的解集为? ，无解；
?1－x≤2a?1－x≤－2?x≥3?x＋2≤a?x＋2≤1?x≤－1?x≤－1
当a＝1时，不等式组? 可化为? ，解得? ，解集为? ，解得x＝－1．
?1－x≤2a?1－x≤2?－x≤1?x≥－1
1
使关于x的一次函数y＝2x＋a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为 ，且使关于x的不等式组
4
?x＋2≤a1? 有解的概率为P＝ ．
3?1－x≤2a
22
例3．若f（n）为n＋1（n是任意正整数）的各位数字之和，如14 ＋1＝197，1＋9＋7＝17，则f（14）＝17，记f1 （n）＝f（n），f2＝f（f1（n））…fk＋1＝fk （f（n）），k是任意正整数则f2016 （8）＝（ ） A．3 B．5 C．8 D．11
2
解：∵8 ＋1＝65，∴f1 （8）＝f（8）＝6＋5＝11，
22
同理，由11 ＋1＝122得f2 （8）＝1＋2＋2＝5；由5 ＋1＝26，得f3 （8）＝2＋6＝8， 可得f4（8）＝6＋5＝11＝f1 （8），f5（8）＝f2 （8），…，
*
∴fk＋3（8）＝fk （8）对任意k∈N 成立 又∵2016＝3×672，
∴f2016（8）＝f2013（8）＝f2000（8）＝…＝f3 （8）＝8． 选C．
同类题型3.1 将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中
1
任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式 (|a－b|＋a＋b)中进行计算，求出其结果，50组数代入后
2
可求得50个值，则这50个值的和的最大值是____________．
6
解：①若a≥b，则代数式中绝对值符号可直接去掉， ∴代数式等于a，
②若b＞a则绝对值内符号相反， ∴代数式等于b
由此可见输入一对数字，可以得到这对数字中大的那个数（这跟谁是a谁是b无关） 既然是求和，那就要把这五十个数加起来还要最大， 我们可以枚举几组数，找找规律，
如果100和99一组，那么99就被浪费了，
因为输入100和99这组数字，得到的只是100， 如果我们取两组数字100和1一组，99和2一组， 则这两组数字代入再求和是199， 如果我们这样取100和99 2和1， 则这两组数字代入再求和是102，
这样，可以很明显的看出，应避免大的数字和大的数字相遇这样就可以使最后的和最大， 由此一来，只要100个自然数里面最大的五十个数字从51到100任意俩个数字不同组， 这样最终求得五十个数之和最大值就是五十个数字从51到100的和， 51＋52＋53＋…＋100＝3775．
同类题型3.2 规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）
①当x＝1.7时，[x]＋（x）＋[x）＝6；
②当x＝－2.1时，[x]＋（x）＋[x）＝－7；
③方程4[x]＋3（x）＋[x）＝11的解为1＜x＜1.5；
④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋（x）＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点．
解：①当x＝1.7时， [x]＋（x）＋[x）
＝[1.7]＋（1.7）＋[1.7） ＝1＋2＋2
＝5，故①错误； ②当x＝－2.1时， [x]＋（x）＋[x）
＝[－2.1]＋（－2.1）＋[－2.1）
＝（－3）＋（－2）＋（－2）＝－7，故②正确； ③4[x]＋3（x）＋[x）＝11， 7[x]＋3＋[x）＝11， 7[x]＋[x）＝8，
1＜x＜1.5，故③正确； ④∵－1＜x＜1时，
∴当－1＜x＜－0.5时，y＝[x]＋（x）＋x＝－1＋0＋x＝x－1， 当－0.5＜x＜0时，y＝[x]＋（x）＋x＝－1＋0＋x＝x－1， 当x＝0时，y＝[x]＋（x）＋x＝0＋0＋0＝0，
当0＜x＜0.5时，y＝[x]＋（x）＋x＝0＋1＋x＝x＋1， 当0.5＜x＜1时，y＝[x]＋（x）＋x＝0＋1＋x＝x＋1，
11
∵y＝4x，则x－1＝4x时，得x＝－ ；x＋1＝4x时，得x＝ ；当x＝0时，y＝4x＝0，
33
∴当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋（x）＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有三个交点，故④错误， 答案为②③．
同类题型3.3 设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，＜x＞表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，＜3.4≥3．则方程3[x]＋2{x}＋＜x≥22（ ） A．没有解 B．恰好有1个解
7
C．有2个或3个解 D．有无数个解
】解：当x＝3时，3[x]＋2{x}＋＜x≥3×3＋2×3＋3＝18，当x＝4时，3[x]＋2{x}＋＜x≥3×4＋2×4＋4＝24，
∴可得x的大致范围为3＜x＜4，
①3＜x＜3.5时，3[x]＋2{x}＋＜x≥3×3＋2×4＋3＝20，不符合方程； ②当3.5＜x＜4时，3[x]＋2{x}＋＜x≥3×3＋2×4＋4＝21，不符合方程． 选A．
同类题型3.4对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，因此，
22
min{－2，－3}＝______；若min{（x－1），x }＝1，则x＝____________． 解：min{－2，－3}＝－3，
22
∵min{（x－1），x }＝1，
22
当x＝0.5时，x＝（x－1） ，不可能得出，最小值为1，
22
∴当x＞0.5时，（x－1）＜x ，
2
则（x－1） ＝1， x－1＝±1，
x－1＝1，x－1＝－1，
解得：x1 ＝2，x2 ＝0（不合题意，舍去），
22
当x＜0.5时，（x－1）＞x ，
2
则x ＝1，
解得：x1 ＝1（不合题意，舍去），x2 ＝－1， 综上所述：x的值为：2或－1．
1
例4．已知点A在函数y1＝－（x＞0）的图象上，点B在直线y2 ＝kx＋1＋k（k为常数，且k≥0）上．若
xA，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1 ，y2 图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的
“友好点”对数的情况为（ ） A．有1对或2对 B．只有1对
1
解：设A（a，－ ），
C．只有2对
D．有2对或3对
a1
由题意知，点A关于原点的对称点B（－a， ）在直线y2 ＝kx＋1＋k上，
a1
则 ＝－ak＋1＋k，
a2
整理，得：ka －（k＋1）a＋1＝0 ①， 即（a－1）（ka－1）＝0， ∴a－1＝0或ka－1＝0， 则a＝1或ka－1＝0，
若k＝0，则a＝1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；
1
若k≠0，则a＝1或a＝ ，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，
k综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对， 选A．
同类题型4.1 在平面直角坐标内A，B两点满足： ①点A，B都在函数y＝f（x）的图象上；
②点A，B关于原点对称，则称A，B为函数y＝f（x）的一个“黄金点对”．
8
??|x＋4|，x≤0
则函数f（x）＝ ?1的“黄金点对”的个数为（ ）
－ ，x＞0??xA．0个 B．1个
解：根据题意：“黄金点对”，可知，
C．2个
D．3个
1
作出函数y＝－ （x＞0）的图象关于原点对称的图象，
x同一坐标系里作出函数y＝|x＋4|，x≤0的图象如右图： 观察图象可得，它们在x≤0时的交点个数是3． 即f（x）的“黄金点对”有：3个． 选D．
同类题型4.2 定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（－1，1），Q（2，3），则P，Q的“实际距离”为5，即PS＋SQ＝5或PT＋TQ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A，B，C三个小区的坐标分别为A（3，1），B（5，－3），C（－1，－5），若点M表示单车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为____________．
解：若设M（x，y），则由题目中对“实际距离”的定义可得方程组：3－x＋1－y＝y＋5＋x＋1＝5－x＋3＋y，
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解得，x＝1，y＝－2，则M（1，－2）．
同类题型4.3 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为__________．
解：∵△BCD∽△BAC，
∴∠BCD＝∠A＝46°，
∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD， ∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，
①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝1
2
（180°－46°）＝67°，
∴∠ACB＝67°＋46°＝113°，
②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°， ∴∠ACB＝46°＋46°＝92°， 故答案为113°或92°．
10
江苏省无锡地区2018年中考数学选择填空压轴题 专题9 阅读理解问题
