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时间的交易费用为：
??由于m??0 （1-56） ?1?y，所以它可以表示为： 2 ???0y2m （1-57）
家庭要在生息资产市场上选择最优交易频度(1/?)?,也即选择最优的实际货币余额平均持有量m。假设家庭总的实际财富为?，并且财富必须在实际生息资产（f)和实际货币余额（m）之间进行分配，那么财富总的利息收入就为：
?r(??m)?rf （1-58）
家庭储蓄组合的净收入等于总利息收入减去交易费用，因此，家庭力图选择使(rf??)最大的m。根据财富的约束条件：?=m+f，可得出家庭最优储蓄组合的拉格朗日函数：
￡=rf??0y2m??(??f?m) （1-59）
这个函数取最大值的一阶条件为：
?￡?r???0 （1-60） ?f?￡?0y?－?=0 (1-61) ?m2m2?￡???f?m?0 (1-62) ??合并式（1-60）和式（1-61）可得：
m????0y2r，
?m?m?m＞0， ＜0， ＞0 （1-63）
??0?y?r这个m就是最优的实际货币余额平均持有量，其数量取决于家庭实际收入y、利率r和交易费用?0。
通常情况下，可以给出利率r、实际货币余额m及实际收入y三者之间的一般函数关系：
?2m?2m?m?m?0 （1-64） ?0, ?0, m?m(r,y),?0, 2?y?r?y?r?r1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
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该函数还可以用图1-3表示。 由式（1-64），可得意愿实际货币余额的规范表达式：
?(M/P)d?(M/P)dMdMd??0, <0 (1-65) ()?m?()(y,r),
?y?rPP式（1-65）也就是家庭的货币需求函数。它是从货币作为生息资产的替代物的角度得出的。
托宾认为，持有货币的收益率平均低于持有生息资产的收益率，但前者相对于后者，受益有更大的确定性，这是由于两者承担的风险程度不同。政府债券和股票要受市场价格波动的影响，货币却不会受这种影响。一些经济主体可能在最优投资组合中愿意持有一些货币，正是基于这种风险差异。
图1-3 m
货币需求的投资组合理论从不同的角度去考察货币需求过程，但得出的结论却非常相似。投资组合说（托宾）和交易需求说（鲍默尔）都表明实际货余额的最优存量与生息资产的收益率（利息率）有反比关系。两种说法的根本区别在于：前者把总财富作为自变量，而后者把收入作为自变量。
从交易和投资组合的角度对货币需求的研究，都把对货币的需求视为对实际货币余额最优存量的决定。然而家庭的预算约束为：
?d?dWsBd z?l?RK???=c?f?m （1-66）
PPWsl-------实际工资收入； P RK--------实际红利收入；
B ----------实际利息收入；
P ?-----------实际税收支出；
式中：
c----------实际消费需求； f?dd---------实际生息资产需求流量；
m---------实际货币余额需求流量。
另外，由于假设总量生产函数是线性齐次的，所以只要市场扫清，家庭的预算约束也可以表述为：
?d?dBWsdz?y????c?f?m l?RK,故：因为 y?（1-67）
PP?d值得注意的是，家庭预算约束中所有变量都是流量，因此有必要把对实际货币余额的存量需求转化为对实际货币余额增加额m这一流量的需求。
当实际持有的实际货币余额不等于意愿持有的实际货币余额时，两者的差距将会逐渐消
除。如果经济主体逐渐调整他们实际持有的实际货币余额，使其与意愿持有的实际货币余额保持一致，那么就可以得出家庭意愿持有的实际货币余额的流量为：
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?dm=?m[(式中，
MdM)(y,r)?],?m?0（常数） （1-68） PPMMd：实际拥有的实际货币余额；()：意愿拥有的实际货币余额。 PP?d?d式（1-68）也可以表示为： m=m（y,r,?m?mM?m?0， ?0 （1-69） ）， ?0,
M?rP?y?()P?d?d?d根据家庭对商品需求和对实际货币余额需求流量的分析，可以得出家庭对增量生息资产的需求为：
f?z?c(z)?m(y,r,式（1-70）也可表示为：
?dd?dM) （1-70） Pf对f?d?d?f(z,y,r,?dM) （1-71） P求偏导数，则家庭的预算约束隐含了下列条件：
?f?cd?1??0 （1-72） ?z?z?f?md???0 （1-73） ?y?y?d??d?f?m???0 （1-74） ?r?r?d?d?f?m???0 （1-75）
?(M/P)?(M/P)这里，
?d?d?f是假设除y 之外的所有变量（包括z）在恒定不变的情况下得出的，它表?y?d明y的独自变化对生息资产需求的影响。
四，劳动市场均衡
假设实际工资等于劳动供给l(W/P)和劳动需求l(W/P)决定的均衡实际工资率
?（W/P)，由此对应的均衡就业水平表示为l，那么，劳动供给、劳动需求和均衡值
?sd(W/P)?、l?如图1－4所示：
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l? l 图1-4
由于就业水平和实际工资由劳动市场单独决定，因此，总产品供给可以简单地表示为：
ys??(l?,K)?y? （1-76）
五、政府行为
政府购买实际意义上的产品和劳务g,并将其作为公共商品分配给家庭，政府也向家庭和厂商收取实际意义的总额税；政府也向政府债券持有者支付相当于B的名义债息；政府还发行新的货币和债券。
把名义货币供给的扩张率表示为dM/dt,把增加债券的名义价格表示为：
Pb?dB1dB （1-77） ??dtrdt政府必须通过发行货币或发售更多的政府债券的方式来支付超过税收收入的政府开支和现有债务的利息，所以政府的预算约束就是：
P(g?BdM1dB （1-78） ??)???Pdtrdt?s如果把增加的货币余额的实际供给表示为：m?供给表示为：b?s1dM?，把增加的政府债券的实际Pdt1dB，则政府预算约束可以表示为： ?rPdt?sBg????m?bs （1-79）
P为了以最简单的形式得到模型，可以假设没有现存的债券，并且政府不出售新的债券，也即假设b?B?0。这样，政府就只有三种政策工具，即政府开支g、税收?和发行货币m，它们中只要两种可以由政府预算约束g-?=m独立控制。不过，在基本模型确立之后，要重新引入政府债券也是相当简单的。
?s?ss六，关于静态确定性宏观经济模型的一些说明
首先，这个模型最主要的问题在于市场均衡是一个完全没有时间概念的现象。第一章的分析大多建立在下述假设上，即家庭和厂商在市场上的供给函数和需求函数是无时间限定的函数，而实际上市场均衡价格的决定仅仅是一瞬间的事情。
其次，模型中使用的比较静态方法和关于预期的处理存在着或隐或显的缺陷。即假定经济主体能够确切地预测所有经济变量的未来价值完全与经济变量的现行价值相同，而任何内生的或外生的经济变量的变化都被预测为完全恒定。
当然，模型中的许多缺陷是能够通过在模型中引入动态分析和使模型更接近具体环境来加以弥补的。但人们由此可能对这些简单的静态模型研究的实用价值产生怀疑。
不过，对这一疑问的答案却是十分确定的。第一，这些简单模型的分析技术是通向更规范模型的桥梁；从这些简单模型的分析中所得到的启示与从更规范的模型中所得出的结论并没有很大的差异。第二，当差异的确显现时，由于在基本模型中我们已有了确定的认识，所以这些差异就会更容易阐明。第三，这些模型在宏观经济学思想史中是极其重要的逻辑部分，没有对这些模型的很好了解，要理解宏观领域里一些更早期的贡献是十分困难的。第四，这
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些简单模型中产生的结论往往渗透在经济政策制定者和它们的经济顾问的思维中。
数学附录
第一节 微积分
一，函数，极限，连续性
函数： y=f(x)
函数的定义域：x的取值范围，通常是所有实数的一个子集。 函数的值域：y的取值范围，可以是所有复数的一个子集，通常是所有实数的一个子集。
显函数与隐函数：
y=f(x)， y=a+bx， y=xa，
g(y,x)=0， yn+xn=0， ey+㏑x=0，
显函数一般可以变换为隐函数，但是隐函数不一定能够变换为显函数。
一元函数与多元函数：
y=f(x)， y=f(x1，x2，…，xn)， 凹函数，拟凹函数：
设函数y=f(x)的定义域为[a,b]，如果对于所有a≤x1,x2≤b和所有0≤λ≤1，有： f[λx1+(1-λ) x2]≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)
则y=f(x)是凹函数；若严格不等式成立，则是严格凹函数。
设函数y=f(x)的定义域为[a,b]，如果对于所有a≤x1,x2≤b和所有0≤λ≤1，有： f[λx1+(1-λ) x2]≥min[f(x1),f(x2)]
则y=f(x)是拟凹函数；若严格不等式成立，则是严格拟凹函数。 y y
x1 x2 x1 x2 极限：
自然对数：
e=limn→∞(1+r/n) n / r≈2。
二，一元函数导数 三，微分公式
四，多元函数偏导数 五，全微分 六，包络
设隐函数：
f(x,y,k)=0， k是参数
k一定时，该函数给出了x，y平面上的一条曲线；k不同时，给出一簇不同的曲线。与这簇曲线都相切的一条曲线就是包络线。其方程的求法：
f(x,y,k)=0
fk(x,y,k)=0， fkk≠0， fxfyk-fyfxk≠0 从上述两个方程消去k，就得到包络线方程。 七，隐函数定理与雅克比行列式 第二节 极大值与极小值 一，无约束极大值与极小值
设多元光滑函数：
y=f(x1、x2、…、xn)
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浙江大学宏观经济学中级
