00年考研数学二试题及答案解析

【解析】由题意，当???x?0时，y??x22，即ydy??xdx，得y??x?c， y'又y(??2)??22222代入y??x?c得c??，从而有x?y??

22*当0?x??时，y''?y?x?0得 y''?y?0 的通解为y?c1cosx?c2sinx

令解为y1?Ax?b，则有0?Ax?b?x?0，得A??1,b?0， 故y1??x，得y''?y?x?0的通解为y?c1cosx?c2sinx?x 由于y?y(x)是(??,?)内的光滑曲线，故y在x?0处连续

于是由y(0?)?????,?y(0?)?c1?，故c1???时，y?y(x)在x?0处连续 又当 ???x?0时，有2x?2y?y'?0，得y?'(0)??x?0， y当0?x??时，有y'??c1sinx?c2cosx?1，得y?'(0)?c2?1 由y?'(0)?y?'(0)得c2?1?0，即 c2?1

????2?x2?,???x?0故 y?y(x)的表达式为y??或

????cosx?sinx?x,0?x?????2?x2?,???x?0????y??，又过点??,?，

?22????cosx?sinx?x,0?x?????2?x2?,???x?0所以y??。

???cosx?sinx?x,0?x??（21）（本题满分11分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f?x?在?a,b?上连续，在(a,b)可导，则存在

???a,b?，使得f?b??f?a??f?????b?a?

f??x??A，（Ⅱ）证明：若函数f?x?在x?0处连续，在?0,?????0?内可导，且lim?x?0则f???0?存在，且f???0??A。

【解析】（Ⅰ）作辅助函数?(x)?f(x)?f(a)?f(b)?f(a)(x?a)，易验证?(x)满足：

b?a?(a)??(b)；?(x)在闭区间?a,b?上连续，在开区间?a,b?内可导，且

?'(x)?f'(x)?f(b)?f(a)。

b?a'根据罗尔定理，可得在?a,b?内至少有一点?，使?(?)?0，即

f'(?)?f(b)?f(a)?0,?f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)

b?a（Ⅱ）任取x0?(0,?)，则函数f(x)满足；

在闭区间?0,x0?上连续，开区间?0,x0?内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在

?x??0,x0???0,??，使得f'??x??00f(x0)?f(0)……?*?

x0?0f又由于lim?x?0'?x??A，对上式（*式）两边取x0?0?时的极限可得：

f(x0)?f?0??lim?f'(?x0)?lim?f'(?x0)?A x0?0?x0?0x0?0f?'?0??lim?x0?0''故f?(0)存在，且f?(0)?A。

?1?1?1???1?????1?，?1??1? （22）（本题满分11分）设A???11?0?4?2???2?????2（Ⅰ）求满足A?2??1,A?3??1的所有向量?2,?3

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量?2,?3，证明：?1,?2,?3线性无关。 【解析】（Ⅰ）解方程A?2??1

?1?1?1?1??1?1?1?1??1?1?1?1???????1111?0000?0211?A,?1????????? ?0?4?2?2??0211??0000??????? r(A)?2故有一个自由变量，令x3?2，由Ax?0解得，x2??1,x1?1 求特解，令x1?x2?0，得x3?1

?1??0????? 故?2?k1??1???0? ，其中k1为任意常数

?2??1?????2解方程A?3??1

?220???A2???2?20?

?440????1??1100?1???222?????2?A,?1????2?201???0000?

?440?2??0000???????2故有两个自由变量，令x2??1,x3?0，由Ax?0得x1?1

2令x2?0,x3?1，由Ax?0得x1?0

?1??1????2??1??0??2?????????求特解?2??0? 故 ?3?k2?1?k30??0? ，其中k2,k3为任意常数

???????1??0??0?0????????????（Ⅱ）证明：由于

?1k1k2?1?k1?22k1?111?k2?k1k3?2k1k2?(2k1?1)(k2?)?2k1(k2?)?k2(2k1?1)?k1k322k3??1?0 212

故?1,?2,?3 线性无关.

（23）（本题满分11分）设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3

222（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；

22（Ⅱ）若二次型f的规范形为y1?y2，求a的值。

1??a0???1? 【解析】（Ⅰ） A??0a?1?1a?1?????a|?E?A|?0?10?11?(??a)??a1??a1??a?110??a?

??a?1?11?(??a)[(??a)(??a?1)?1]?[0?(??a)]?(??a)[(??a)(??a?1)?2]?(??a)[?2?2a????a2?a?2]19?(??a){[a??(1?2a)]2?}24?(??a)(??a?2)(??a?1)??1?a,?2?a?2,?3?a?1

22（Ⅱ） 若规范形为y1?y2，说明有两个特征值为正，一个为0。则

1) 若?1?a?0，则 ?2??2?0 ，?3?1 ，不符题意 2) 若?2?0 ，即a?2，则?1?2?0，?3?3?0，符合

3) 若?3?0 ，即a??1，则?1??1?0 ，?2??3?0，不符题意 综上所述，故a?2