dy2t?2tln(2?t2)?t2?dt2?t22dx?e?(1?t)?(?1)t?1??1 dtdy所以 ?2
dx【解析】
所以 切线方程为y?2x
t?1??2
（10）已知
+?kx???edx?1,则k? 【答案】?2
??kx??【解析】
1??edx?2???01edx?2limekx b???k0kxb因为极限存在所以k?0
21?0?
kk??2
1?xlimesinnxdx? 【答案】0 （11）
n???0【解析】令In?e?xsinnxdx??e?xsinnx?ne?xcosnxdx
?? ??e所以In???xsinnx?ne?xcosnx?n2In
ncosnx?sinnx?xe?C
n2?11ncosnx?sinnx?x1?x即lim?esinnxdx?lim(?e0) 2n??0n??n?1ncosn?sinn?1n?lim(?e?)22 n??n?1n?1 ?0d2y（12）设y?y(x)是由方程xy?e?x?1确定的隐函数，则2dxyyyx=0= 【答案】?3
【解析】对方程xy?e?x?1两边关于x求导有y?xy??y?e?1，得y??对y?xy??y?e?1再次求导可得2y??xy???y??e?(y?)e?0，
yy2y1?y yx?e2y??(y?)2ey得y???? (*)
x?ey当x?0时，y?0，y?(0)?1?0?1，代入(*)得 e02y?(0)?(y?(0))2e0y??(0)????(2?1)??3 03(0?e)（13）函数y?x2x在区间?01，?上的最小值为 【答案】e?2e
【解析】因为y??x2x?2lnx?2?，令y??0得驻点为x?2x22x1。 e2??11?2?又y???x?2lnx?2??x?，得y?????2ee?0，
x?e??12x故x?为y?x的极小值点，此时y?ee，
e2又当x??0,?时，y??x??0；x??,1?时，y??x??0，故y在?0,?上递减，在?,1?上递增。
2lnxlimx?0?1xlim2x1x2??1?e??1??e???1?e??1??e?x而y?1??1，y??0??lim?x?02x2x?lime?x?02xlnx?e?ex?0???ex?0?lim??2x??1，
?1??ey所以y?x在区间?01上的最小值为，????e。 ?e?2?200???TTT(14)设?，?为3维列向量，?为?的转置，若矩阵??相似于?000?，则??=
?000???
【答案】2
?200?
??TT【解析】因为??相似于?000?，根据相似矩阵有相同的特征值，得到??的特征值
?000???
TT是2,0,0，而??是一个常数，是矩阵??的对角元素之和，则???2?0?0?2。
T三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求极限limx?0?1?cosx??x?ln(1?tanx)?sinx4
12x?x?ln(1?tanx)?1?cosx??x?ln(1?tanx)??【解析】lim ?lim244x?0x?0sinxsinx1x2x?ln(1?tanx)1x?ln(1?tanx)1?lim2?lim? 22x?0x?02sinxsinx2sinx4（16）（本题满分10 分） 计算不定积分ln(1??1?x)dx (x?0) x1?x1?2tdt?t得x?2,?dx?2 2xt?1(t?1)【解析】方法一：令原式??ln(1?t)?2t?1dt?ln(1?t)d(t2?1)2222?(t?1)(t?1)1??ln(1?t)d(2)t?1ln(1?t)11?2??2?dtt?1t?1t?1?1ln(1?t)?1?1??2?????dt2?t?14(t?1)4(t?1)2(t?1)???ln(1?t)1t?11?ln??Ct2?14t?12(t?1)1?x?11?x11x?xln(1?)?ln??Cx41?x1?x?12(?1)xx1?x11?xln(1?)?ln(1?x?x)?x(1?x?x)?C.x22
1?x1?x1?x方法二： ?ln(1?)dx?xln(1?)??x(1?)xxx?xln(1??1?1?x?? ????dxx???1?x1?x)????1dx ???x2?1?x??xln(1?xdxu?1?x1?x分部1?x11x)?x??dx x221?x??u2?12udu?2?u2?1duuuu2?1?lnu?u2?1?C?x?1?x??ln??
?x?1?x?C?即ln(1??1?x1?x11)dx?xln(1?)?x?xx22?xln(1?1?x1)?lnx2?x?1?x??ln?x?1?x???C ??x?1?x??1x2?x?1?x?C
（17）（本题满分10分）设z?f?x?y,x?y,xy?，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与
?2z ?x?y?z?f1???x【解析】
?z?f1???yf2??yf3?
f2??xf3??dz??z?zdx?dy?x?y?(f1??f2??yf3?)dx?(f1??f2??xf3?)dy?2z?f11???1?f12???(?1)?f13???x?f21???1?f22???(?1)?f23???x?f3??y[f31???1?f32???(?1)?f33???x]?x?y?f3??f11???f22???xyf33???(x?y)f13???(x?y)f23??（18）（本题满分10分）设非负函数y?y?x???x?0?满足微分方程xy???y??2?0，当曲线y?y?x??过原点时，其与直线x?1及y?0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
2【解析】微分方程xy???y??2?0得其通解y?C1?2x?C2x,其中C1，C2为任意常数
令p?y?，则y???dpdp1?2，微分方程xy???y??2?0变形为 ?p?dxdxxx11dx??2??dt???2??etdx?C1??x??2dx?C1??2?C1x其中C1为任意常数 得到p?ex???x??x?即
dy1?2?C1x得到y?2x?C1x2?C2其中C2为任意常数 dx2又因为y?y(x)通过原点时与直线x?1及y?0围成平面区域的面积为2，于是可得
C2?0
CC12??y(x)dx??(2x?C1x2)dx?(x2?1x3)?1?1
002660111从而C2?6
于是，所求非负函数y?2x?3x??(x?0)
又由y?2x?3x?可得，在第一象限曲线y?f(x)表示为x?（1?3y?1) 于是D围绕y轴旋转所得旋转体的体积为V?5??V1，其中
551V1???x2dy????(1?3y?1)2dy0092213???9?50(2?3y?21?3y)dy
39?18V?5??395117????? 18186（19）（本题满分10分） 求二重积分
???x?y?dxdy，其中D???x,y??x?1???y?1?22?2,y?x。
?D【解析】由(x?1)?(y?1)?2得r?2(sin??cos?)，
22???(x?y)dxdy???d??D43?43?42(sin??cos?)0(rcos??rsin?)rdr
???42(sin??cos?)?1?3(cos??sin?)?r??d? ??0?3?????3?4?43?48(cos??sin?)?(sin??cos?)?(sin??cos?)2d? 38(cos??sin?)?(sin??cos?)3d? 33?44?4?83814???(sin??cos?)3d(sin??cos?)??(sin??cos?)43434?8??
3（20）（本题满分12分）
（-设y?y(x)是区间内过（-?，?）?，）的光滑曲线，当-??x?0时，曲线上任一点
22?处的法线都过原点，当0?x??时，函数y(x)满足y???y?x?0。求y(x)的表达式
00年考研数学二试题及答案解析
