2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
x?x3(1) 函数f?x??的可去间断点的个数为
sin?x?A? 1 ?B? 2 ?C? 3 ?D? 无穷多个 【答案】C
x?x3【解析】由于f?x??,则当x取任何整数时,f?x?均无意义.
sin?x故f?x?的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是x?x?0的解
3x1,2,3?0,?1.
x?x31?3x21lim?lim?,x?0sin?xx?0?cos?x?x?x31?3x22lim?lim?, x?1sin?xx?1?cos?x?x?x31?3x22lim?lim?.x??1sin?xx??1?cos?x?故可去间断点为3个,即0,?1.
(2) 当x?0时,f?x??x?sinax与g?x??xln?1?bx?是等价无穷小,则
21111 a?1,b??a?1,b?a??1,b??a??1,b?ABCD????????6666【答案】A
【解析】 limx?0f(x)x?sinaxx?sinax?lim2?lim2 x?0x?0g(x)xln(1?bx)x?(?bx)1?acosaxa2sinax洛lim洛lim2x?0x?0?3bx?6bx a2sinaxa3?lim???1,x?06b6b??axa?a3??6b,故排除B,C.
1?acosax存在,蕴含了1?acosax?0?x?0?,故a?1.排除D.
x?0?3bx2所以本题选A.
另外,lim(3) 设函数z?f?x,y?的全微分为dz?xdx?ydy,则点?0,0?
?A? 不是f?x,y?的连续点 ?B? 不是f?x,y?的极值点
?C? 是f?x,y?的极大值点 ?D? 是f?x,y?的极小值点 【答案】D
【解析】因dz?xdx?ydy可得
?z?z?x,?y. ?x?y?2z?2z?2z?2zA?2?1,?B???0,?C?2?1,
?x?x?y?y?x?y又在?0,0?处,
?z?z?0,?0,AC?B2?1?0, ?x?y故?0,0?为函数z?f(x,y)的一个极小值点. (4) 设函数f?x,y?连续,则
?dx?f?x,y?dy??1x2221dy?x4?yyf?x,y?dx?
?A? ?122dx?4?x14?yf?x,y?dy ?B?f?x,y?dx
21x?21dx?4?xf?x,y?dy
?C? ?1dy?1【解析】
2 ?D?2?21dy?f?x,y?dx 【答案】C
y2?1dx?f(x,y)dy??dy?f(x,y)dx的积分区域为两部分：
x2D1??(x,y)1?x?2,x?y?2?,D2??(x,y)1?y?2,y?x?4?y?,
将其写成一块D?(x,y)1?y?2,1?x?4?y, 故二重积分可以表示为
???21dy?4?y1f(x,y)dx,故答案为C.
22(5) 若f???x?不变号,且曲线y?f?x?在点?1,1?上的曲率圆为x?y?2,则函数f?x?在区间?1,2?内
?A? 有极值点,无零点 ?C? 有极值点,有零点
?B? 无极值点,有零点
?D? 无极值点,无零点 【答案】B
【解析】由题意可知,f(x)是一个凸函数,即f??(x)?0,且在点(1,1)处的曲率
??|y??|(1?(y?))322?1,而f?(1)??1,由此可得,f??(1)??2. 2在[1,?2]上,f?(x)?f?(1)??1?0,即f(x)单调减少,没有极值点. 对于f(2)?f(1)?f?(?)??1?????(1,?2),(拉格朗日中值定理)
????f(2)?0而f(1)?1?0,由零点定理知,在[1,?2]上,f(x)有零点.故应选B.
（6）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为：
则函数F?x???f?t?dt的图形为
0x?A??B?
?C?【答案】D
?D?
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由y?f(x)的图形可见，其图像与x轴及y轴、
x?x0所围的图形的代数面积为所求函数F(x)，从而可得出几个方面的特征：
①x??0,1?时，F(x)?0，且单调递减。 ②x??1,2?时，F(x)单调递增。 ③x??2,3?时，F(x)为常函数。
④x???1,0?时，F(x)?0为线性函数，单调递增。 ⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为D。
（7）设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若A?2,B?3，则分块
**?OA?矩阵??的伴随矩阵为
BO???O3B*??A??*?.
O??2A?O3A*??C??*?.
2BO???
?O?B??*?3A?O?D??*?3B?1?12B*??. O?2A*?【答案】 B ?.
O?1?C C
?【解析】根据CC?CE若C?CC,C??0分块矩阵??B0A??的行列式
B0?A02?2?（?1）AB?2?3?6即分块矩阵可逆
?0??BA?0??0?B?A?0?0?BA??0?6??1?0??A?1??0?1B???6??1?0??A?A1??B?B? ?0????0?6??1A???21??B3??0????3A0????2B??? 0??100???T（8）设A,P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PAP?010，若
???002???TP?(?1,?2?,3)Q,??(1??2?,?2,，则3)QAQ 为
?210??110?A?.??? ?002????200??010?C?.??? ?002???
?110??? ?B?. ?120?
?002????100??? ?D?.?020? 【答案】 A
?002???
?100???【解析】Q?(?1??2,?2,?3)?(?1,?2,?3)110?(?1,?2,?3)E12(1)，即： ????001??Q?PE12(1)TQTAQ?[PE12(1)]TA[PE12(1)]?E12(1)[PTAP]E12(1)?10?E21(1)??01??00?110??1??0??010?????001????00?0??E12(1)2??00??100??210??110???110?10??????02????001????002??
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
1-t?u2?x=edu??（9）曲线?在处的切线方程为 （0，0）0?y?t2ln(2?t2)?【答案】y?2x
00年考研数学二试题及答案解析
