第2讲 双曲线
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
x2y2
1．(2014·日照二模)已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为________．
c
解析 由题意知圆心坐标为(5,0)，即c＝5，又e＝a＝5，∴a2＝5，b2＝20，x2y2
∴双曲线的标准方程为5－20＝1. x2y2
答案 5－20＝1
2．(2014·苏州一模)已知双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(5，0)，则其离心率为________．
c
解析 由已知，得a＝1，c＝5.∴e＝a＝5. 答案
5
x2y2
3．(2014·广州一模)已知双曲线9－a＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．
x2
解析 由题意得c＝13，所以9＋a＝c＝13，所以a＝4.即双曲线方程为9－
2
y2
3y＝0.
4＝1，所以双曲线的渐近线为2x±答案 2x±3y＝0
2
y
4．(2013·北京卷改编)双曲线x2－m＝1的离心率大于2的充分必要条件是
________．
y2
解析 在双曲线x－m＝1中，a＝1，b＝m，则c＝
2
c
1＋m，离心率e＝a＝
1＋m
1＞2，解得m＞1. 答案 m＞1
x2y2
5．若双曲线a2－3＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝______. 解析 ∵b＝3，∴c＝答案 1
x2y2
6．(2014·成都模拟)已知双曲线的方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞2)，双曲线的一个5
焦点到一条渐近线的距离为3c(其中c为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为________．
b
解析 不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y＝ax，即bx－ay＝0.则焦点到渐近线的距离为
555
＝3c，即b＝3c，从而b2＝9c2＝c2－b2＋a2|bc|c
a2＋3，∴a＝
a2＋3
a＝2，∴a＝1.
493
a2，所以9c2＝a2，即e2＝4，所以离心率e＝2. 3
答案 2
y2
7．(2014·郑州二模)设F1，F2是双曲线x－24＝1的两个焦点，P是双曲线上的
2
一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于________． ??|PF1|－|PF2|＝2，解析 由?
??3|PF1|＝4|PF2|，??|PF1|＝8，
可解得?
??|PF2|＝6.
又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，
1
则S△PF1F2＝2|PF1|×|PF2|＝24. 答案 24
x2y2y2x2
8．(2014·武汉诊断)已知双曲线m－3m＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆n－m＝1的焦距等于4，则n＝________.
y2
解析 因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y轴，所以双曲线的方程为－－3m＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－m
y22
－1，所以椭圆方程为n＋x＝1，且n＞0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)． 答案 5 二、解答题
x2y2
9．已知椭圆D：50＋25＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程． 解 椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5. x2y2
设双曲线G的方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)， ∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25， 又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3. ∴|5a|
＝3，得a＝3，b＝4， 22
b＋ax2
x2y2
∴双曲线G的方程为9－16＝1.
10．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解 (1)由已知：c＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，
?a－m＝4，则?1313
7·＝3·?am.
解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.
x2y2x2y2
∴椭圆方程为49＋36＝1，双曲线方程为9－4＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝213， |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2∴cos∠F1PF2＝
2|PF|·|PF|
1
2
102＋42－?213?24
＝＝5.
2×10×4
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、填空题
x2y2
1．(2014·焦作二模)直线y＝3x与双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)左右两支分别交于M、N两点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|FO|＝|MO|，则双曲线的离心率等于________．
解析 由题意知|MO|＝|NO|＝|FO|，∴△MFN为直角三角形，且∠MFN＝90°，取左焦点为F0，连接NF0，MF0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF0为平行四边形．
又∵∠MFN＝90°，∴四边形NFMF0为矩形，
∴|MN|＝|F0F|＝2c，又∵直线MN的倾斜角为60°，即∠NOF＝60°， ∴∠NMF＝30°，∴|NF|＝|MF0|＝c，|MF|＝3c， 由双曲线定义知|MF|－|MF0|＝3c－c＝2a，
c
∴e＝a＝3＋1. 答案
3＋1
x2y2
2．(2014·临沂联考)已知点F是双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________． 解析 由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠π
AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<4即可．直线AB的方程为x＝－c，代b2?b4b2?
入双曲线方程得y＝a2，取点A?－c，a?，则|AF|＝a，|EF|＝a＋c，只要
??
2
πb2
|AF|<|EF|就能使∠AEF<4，即a x2y2 3. 如图，双曲线2－2＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2， ab两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则 (1)双曲线的离心率e＝________； S1 (2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值S＝________. 2 解析 (1)由△B2OF2的面积可得a b2＋c2＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－
创新设计高考数学苏教理一轮题组训练：双曲线
