第五章条件平差
§5-1条件平差原理
条件平差中求解的未知量是什么?能否由条件方程
直接求得
5. 1. 02 设某一平差问题的观测个数为n.必要观测数为t，若按条件平差法进行平差，其条件方程、法方程及改正数方程的个数各为多少?
5. 试用符号写出按条件平差法平差时，单一附合水准路线中(如图5-1所示)各观测值平差值的表达式。
图5-1
5. 1. 04 在图5-2中，已知A ,B的高程为Ha= m , Hb=11. 123m,观测高差和线路长度为:
图5-2
S1=2km,S2=Ikm,S3=,h1 =,h2= m,h3= m，求改正 数条件方程和各段离差的平差值。
在图5-3的水准网中，A为已知点B、C、D为待定点，已知点高程HA=,观测了5条路线的高差: h1=，
h2=0. 821 m，
h3=， h4=， h5= m。
各观测路线长度相等，试求:（1）改正数条件方程;(2)各段高差改正数及平差 值。
有水准网如图5-4所示，其中A、B、C三点高程未知，现在其间进行了水准测 量，测得高差及水准路线长度为
h1 =1 .335 m，S1=2 km; h2= m，S2=2 km;
h3= m，S3=3km。 试按条件平差法求各高差的平差值。
如图 5-5 所示，L1=63°19′40″，=30″；L2 =58°25′20″,=20″； L3=301°45′42″，=10″. (1)列出改正数条件方程;
(2)试用条件平差法求∠C的平差值(注: ∠C是指内角)。
5-2条件方程
5. 对某一平差问题，其条件方程的个数和形式是否惟一?
列立条件方程时要注意哪些问题?如何使得一组条件方程彼此线性无关?
. 10 指出图5-6中各水准网条件方程的个数(水准网中Pi表示待定高程点，hi表 示观测高差)。
(a) (b)
图5-6
5. 2. 11指出图5-7中各测角网按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数(图
中Pi 为待定坐标点)。
(2) (b)
(3) 图5-7
(d)
. 12 指出图5-8中各测角网按条件方程的总数及各类条件的个数
~
件平差时条(图
~
中Pi为待定坐标点， si为已知边，位角)。
ai为已知方
（a） (b)
(4) (d)
图5-8
5. 2. 13试指出图5-9中各图形按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数(图 中pi为待定坐标点,βi为角度观测值，Si为边长观测值，Si为已知边长，ai为已知方位角)。
5. 2. 14如图5-10所示的三角网中，A、B为已知点，P1一P;为待定点，a0为已知方位
~
~
-
~
角。s0为已知边长，观测了23个内角，试指出按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数。 5. 2. 15试按条件平差法列出图5-11所示的水准网的全部条件方程(Pi为待定点，hi
为观测高差)。
在图5-12所示的GPS基线向量网中，用GPS接收机同步观测了网中5条边的基线向量( △X12 △Y12 △Z12) 、( △X13 △Y13 △Z13) 、( △X14 △Y14 △Z14 ) 、( △X23 △Y23 △Z23) 、(△X34 △Y34 △Z34 )，试按条件平差法列出全部条件方程。 图5-13中，A、B为已知点，}', ,J-'},P，为待定坐标点，观测了11个角度，试列出 全部平差值条件方程。
5. 2. 18图5-14中，.} , }3为己知坐标点，P1、P2、P3为待定点，观测了12个角度和2条边长S1、S2，试列出全部平差值条件方程。
图5-9
5. 2. 19有如图5-15所示的三角网，B,C为已知点，观测角Li(i=1l，2，…,10)，用文字符号列出全部条件式。
如图5-16所示的三角网中，A 、B为已知点，FG为已知边长，观测角Li(i=1, 2，…、20)，观测边Sj=1,2)，则
{1)在对该网平差时，共有儿种条件?每种条件各有几个? (2)用文字符号列出全部条件式(非线性不必线性化)。
如图5-17所示，A、B为已知点，CP为已知方位角，试列出全部条件方程。
5. 2. 22如图5-18所示的三角网中.指出条件方程的总数和各类条件方程式的个数 并用平差值列出所有非线性条件方程。
,.23如图5 -19所示的三角网中，用文字符号列出全部条件式。 如图5 -20所示的测角网中，A、B为已知点，P1、P2、P3为待定点，观测了11个角度，试列出全部改正数条件方程。
. 25如图5-21所示的测角网中，A、B为已知点，P1、P2、P3为待定点，观测了13个角度和1条边长S，试列出全部改正数条件方程。
有水准网如图5-22所示，试列出该网的改正数条件方程。 已知数据= 31. 100m ,165m = 1. 001m,5i : Lktn = 1, 002m，S2 ~ 2km; -0. 060m,=2km ；fe4 = 1. 000m,S4 = lkm；^5 =0. 500m,5；, =2km；A6 =0. 560m,5^ = 2km ； A7 - 0. 504m ,57 = km ； hs = 1. 064m，Ss =2. 5kmt
图5-23中, A 、B为已知坐标点，P为待定点，观测了边长S和方位角α1、α2、α3试列出全部改正数条件方程。 5. 2. 28在图5-24中，已知A 、B两点的坐标，P1、P2:为待定点，同精度测得各角值如下所示: 角号 1 2 3 观测值 41°54′28″ 48°43′33″ 50°45′49″ 角号 4 5 6 观测值 33°43′25″ 46°47′18″ 61°56′52″ 角号 7 观测值 76°08′37″ 试按条件平差法列中改正数条件方程。 5. 2. 29为量测一房屋面积(如图5-25所示)，测该房屋四角得四个角上的坐标观测值Xi，Yi: 1 X/cm Y/cm 2 3 4 试列出条件方程。
5. 如图5 -26所示，在数字化地图上进行一条道路两边(平行)的数字化，每边各
数字化了2个点，试按条件平差写出其条件方程。
§5-3精度评定
在条件平差中，能否根据已列出的法方程计算单位权方差？ 条件平差中的转库评定主要是解决哪些方面的问题？
在图5-27的△ABC中,按同精度测得L1、L2及L3， 试
图 5-27
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求;(1)平差后 A角的权PA ；（2）在求平差后 A角的权PA 时；
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若设F1=L1或F2 =180°-L2-L3，最后求得的与PF1，PF2？为什么？
（3)求A角平差前的权与平差后的权之比；（4)求 平差后三角行内角和的权倒数；（5）平差后三内角之和的权倒数等于零,这是为什么？ . 34在图5 -28中，同精度侧得L1= 35°20′ 15\2= 35°20′15″，L3=35°20′15″ 试求平差后∠AOB的权。
如图5-29所示的水准网中，侧得各点间高差为
h 1=1. 357m, h2=2. 008m, h3=0. 353m, h4=，h5=-0. 657m, S1=1km , S2=
1km, S3= 1km,.S4 = 1km,.S5=2km。设C=1，试求:（1）平差后l}}$两点间高差的权;（2）平差后A,C两点间高差的权。
5. 有水准网如图5-30所示，侧得各点何高差为气hi(i=1,2……，7)，已算得水准网平差后高差的协因数阵为:
?13?-8??-3? QL=?-1?-1??2?-5?^
-8-3-113-3-1-1-1226-312-3-3-1-313-8-5-1-3-813-52-566-5-5102-2-4-5?-5??6??2? 2??-4?10?? 试求:}1)待定点A,B,C,D平差后高程的权;
(2)C,D两点间高差平差值的权。
5. 3. 37如图5-31所示的三角网中，A,B为已知点， C,D,E,F为待定点，同精度观测了15个内角，试写出: (1)图中CD边长的权函数式;
(2)平差后LB的权函数式。 5. 3. 38 有大地四边形如图5-32所示，A,C为已知点，B,D为待定点.同精度观测了8个角度，各观测值为;
L1=63°14′″，L2=23°28′″，L3=23°31′″，L4=69°45′″， L5=61°40′″，L6=25°02′″，L7=27°24′″，L8=65°52′″，
试列出平差后BD边的权函数式。
如图5-33所示，试按条件平差法求证:在单一水准路线中平差后高程最弱点在水准路线中央。
已知条件式为AV--W =0，其中W =-AL，观测值协因数阵为Q。现有函数式
F=fT(L+V),(1)试求QFF (2)试证:V和F是互不相关的。
§5-4水准网平差示例
在进行水准网平差时，当网形及观测路线或方案确定后，能否在观测前估计出网中的精度最弱点?
5. 4. 42如图5 -34所示的水准网中，A,B,C为已知点，HA= 12. 000m,HB = 12. 500m,
HC =14. OOOm ;高差观测值h 1 =2. 500m,h2 =2. 000m,h3=I. 352m,h4=1. 851m;S1=1 km , S2=1 km, S3=2 km , S4=1 km,试按条件平差法求高差的平差值h及P2点的精度P2 。
5. 4. 43有水准网如图5-35所示，A,B,C,D均为待定点:独立同精度观测.了6条路线的高差:
h1=1 .576 m，h2= m，h3= m， h4= m，h5= m，h6 =-1. 350 m
试按条件平差法求各高差的平差值。
5. 4. 44在水准网(如图5-36所示)中，观到高差及路线长度见下表:序号 观测高差/m 路线长/km h3 h1 h4 h2 h5 ^
h7 HA = 50. 000m， HB= ，
试用条件平差法求:(1)各高差的平差值;(2)平差后P1到P2点间高差的中误差。
5. 4, 45水准网(如图5-37所示)的观测高差及水准路线长度见下表: 观测值观测高差/m 路线长/km h4 + 号 h5 + h1 + h6 + h2 + h7 + h3 + h8 + 到E点平差后高差的中误差(3)E 点到C点平差后高差的中误差。
h6 §5-5 综合练习题
5. 5. 46 有三角形如图5-38所示，L1～L4为独立同精度角度观测值，试按条件平差法导出L3的平差值。
5. 5. 47 如图5 -39所示，一矩形两边的独立同精度观测值L =[ L1 L2]=[ 8. 50 ] cm，已知矩形的对角线为10cm(无误差)，求平差后矩形的面积S及精度
在图5-40所示的直角三角形ABA中，为确定C点坐标观测了边长S1，S2和角度β。得观测值列于下表，试按条件平差法求(1)观侧值的平差值;(2)C点坐标的估值。 观测值 中误差 S1 m 2 cm β 45°00′00″ 10″ S2 m 3 cm 在图5-41所示的三角形ABC中，侧得下 列观测值;
β1=52°30'20\， β2=56°18'20\， β3=71°11'40\ S1= S2=
设测角中误差为10\，边长观测值的中误差为 cm. (1)试按条件平差法列出条件方程; (2)试计算观测角度和边长的平差值。
有独立边角网如图5-42所示.边长观测值为S1～S5，角度观测值为β1～β4其观测数据见下表: 边长 观测值/m 角度 角度观测值 T
^T
误差理论与测量平差基础习题集
