小康老师中考数学专题复习-- 新定义型问题
一、中考专题诠释
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力。近几年日照命题情况来看，该类题型为必考型，一般一道选择或填空再加一道答题，占12到18分。 二、解题策略和解法精讲
“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移． 三、中考典例剖析
考点一：规律题型中的新定义
例1 （2013?湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题： sin30°=31，cos30°=，则sin230°+cos230°= ；① 2222，cos45°=，则sin245°+cos245°= ；② 2231，cos60°=，则sin260°+cos260°= ．③ 22sin45°=sin60°=… 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A= ．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想； （2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=3，求cosA． 5 思路分析：①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； ④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1； （1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°． 22BD?ADBDAD利用锐角三角函数的定义得出sinA=，cosA=，则sin2A+cos2A=，再2ABABAB根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2，从而证明sin2A+cos2A=1； （2）利用关系式sin2A+cos2A=1，结合已知条件cosA＞0且sinA=3，进行求解． 5解：∵sin30°=31，cos30°=， 22321312）+（）=+=1；① 2244∴sin230°+cos230°=（∵sin45°=22，cos45°=， 22222211）+（）=+=1；② 2222∴sin245°+cos245°=（∵sin60°=31，cos60°=， 2232131）+（）2=+=1．③ 2244∴sin260°+cos260°=（观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1．④ （1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°． ∵sinA=BDAD，cosA=， ABAB22BD?ADBDAD∴sin2A+cos2A=（）2+（）2=， AB2ABAB∵∠ADB=90°， ∴BD2+AD2=AB2， ∴sin2A+cos2A=1． （2）∵sinA=3，sin2A+cos2A=1，∠A为锐角， 5∴cosA=1?()2?354． 5点评：本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单． 对应训练 1．（2013?绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题： AO2?； AD3AO2（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足?，试判断OAD3（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究 S四边形BCHG的最大值． SVAGH
2.（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E． ∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点． ∴DE是中位线， ∴DE∥AC，且DE=1AC． 2∵DE∥AC， ∴△AOC∽△DOE， ∴AOAC=2， ?ODDEAO2=． AD3∵AD=AO+OD， ∴ （2）答：点O是△ABC的重心． 证明：如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心． 由（1）可知，而AO2=， AD3AO2=， AD3∴点Q与点O重合（是同一个点）， ∴点O是△ABC的重心． （3）解：如答图3所示，连接DG． 设S△GOD=S，由（1）知AO2=，即OA=2OD， AD3∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S． 为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S△BGD=3xS． ∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S， ∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S． 设OH=k?OG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS， ∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S． ∴S四边形BCHG=S△ABC-S△AGH=（6x+6）S-（2k+2）S=（6x-2k+4）S． ∴S四边形BCHG(6x-2k?4)S3x-k?2== ① (2k?2)Sk?1SVAGH如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE． ∵OF∥BC， OFAO2??， CDAD312∴OF=CD=BC； 33∴∵GE∥BC， GEAG1， ??BCABx?1BC∴GE=； x?11BCx?1OF3∴=， ?BC3GEx?1∴∴OFx?1x?1?=． GE?OF3?(x?1)2?x∵OF∥GE， OHOF?， GHGEOHOFx?1??∴， OGGE-OF2-xx?1∴k=，代入①式得： 2-x∴S四边形BCHG3x-k?2=?k?1SVAGH3x-x?1?2152-x=-x2+x+1=-（x-）2+， x?124?12-x∴当x=S15时，四边形BCHG有最大值，最大值为． 24SVAGH 考点二：运算题型中的新定义 例2 （2013?河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a-b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1?=-5。 （1）求（-2）⊕3的值； （2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．
中考数学专题复习新定义题型
