小康老师中考数学专题复习-- 新定义型问题
一、中考专题诠释
所谓“新定义”型问题,主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力。近几年日照命题情况来看,该类题型为必考型,一般一道选择或填空再加一道答题,占12到18分。 二、解题策略和解法精讲
“新定义型专题”关键要把握两点:一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法;二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移. 三、中考典例剖析
考点一:规律题型中的新定义
例1 (2013?湛江)阅读下面的材料,先完成阅读填空,再按要求答题: sin30°=31,cos30°=,则sin230°+cos230°= ;① 2222,cos45°=,则sin245°+cos245°= ;② 2231,cos60°=,则sin260°+cos260°= .③ 22sin45°=sin60°=… 观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A= .④ (1)如图,在锐角三角形ABC中,利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想; (2)已知:∠A为锐角(cosA>0)且sinA=3,求cosA. 5 思路分析:①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值; ④由前面①②③的结论,即可猜想出:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=1; (1)如图,过点B作BD⊥AC于D,则∠ADB=90°. 22BD?ADBDAD利用锐角三角函数的定义得出sinA=,cosA=,则sin2A+cos2A=,再2ABABAB根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2,从而证明sin2A+cos2A=1; (2)利用关系式sin2A+cos2A=1,结合已知条件cosA>0且sinA=3,进行求解. 5解:∵sin30°=31,cos30°=, 22321312)+()=+=1;① 2244∴sin230°+cos230°=(∵sin45°=22,cos45°=, 22222211)+()=+=1;② 2222∴sin245°+cos245°=(∵sin60°=31,cos60°=, 2232131)+()2=+=1.③ 2244∴sin260°+cos260°=(观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=1.④ (1)如图,过点B作BD⊥AC于D,则∠ADB=90°. ∵sinA=BDAD,cosA=, ABAB22BD?ADBDAD∴sin2A+cos2A=()2+()2=, AB2ABAB∵∠ADB=90°, ∴BD2+AD2=AB2, ∴sin2A+cos2A=1. (2)∵sinA=3,sin2A+cos2A=1,∠A为锐角, 5∴cosA=1?()2?354. 5点评:本题考查了同角三角函数的关系,勾股定理,锐角三角函数的定义,比较简单. 对应训练 1.(2013?绵阳)我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题: AO2?; AD3AO2(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足?,试判断OAD3(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由; (3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG,S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究 S四边形BCHG的最大值. SVAGH
2.(1)证明:如答图1所示,连接CO并延长,交AB于点E. ∵点O是△ABC的重心,∴CE是中线,点E是AB的中点. ∴DE是中位线, ∴DE∥AC,且DE=1AC. 2∵DE∥AC, ∴△AOC∽△DOE, ∴AOAC=2, ?ODDEAO2=. AD3∵AD=AO+OD, ∴ (2)答:点O是△ABC的重心. 证明:如答图2,作△ABC的中线CE,与AD交于点Q,则点Q为△ABC的重心. 由(1)可知,而AO2=, AD3AO2=, AD3∴点Q与点O重合(是同一个点), ∴点O是△ABC的重心. (3)解:如答图3所示,连接DG. 设S△GOD=S,由(1)知AO2=,即OA=2OD, AD3∴S△AOG=2S,S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S. 为简便起见,不妨设AG=1,BG=x,则S△BGD=3xS. ∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=(3x+3)S, ∴S△ABC=2S△ABD=(6x+6)S. 设OH=k?OG,由S△AGO=2S,得S△AOH=2kS, ∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=(2k+2)S. ∴S四边形BCHG=S△ABC-S△AGH=(6x+6)S-(2k+2)S=(6x-2k+4)S. ∴S四边形BCHG(6x-2k?4)S3x-k?2== ① (2k?2)Sk?1SVAGH如答图3,过点O作OF∥BC交AC于点F,过点G作GE∥BC交AC于点E,则OF∥GE. ∵OF∥BC, OFAO2??, CDAD312∴OF=CD=BC; 33∴∵GE∥BC, GEAG1, ??BCABx?1BC∴GE=; x?11BCx?1OF3∴=, ?BC3GEx?1∴∴OFx?1x?1?=. GE?OF3?(x?1)2?x∵OF∥GE, OHOF?, GHGEOHOFx?1??∴, OGGE-OF2-xx?1∴k=,代入①式得: 2-x∴S四边形BCHG3x-k?2=?k?1SVAGH3x-x?1?2152-x=-x2+x+1=-(x-)2+, x?124?12-x∴当x=S15时,四边形BCHG有最大值,最大值为. 24SVAGH 考点二:运算题型中的新定义 例2 (2013?河北)定义新运算:对于任意实数a,b,都有a⊕b=a(a-b)+1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,比如:2⊕5=2×(2-5)+1=2×(-3)+1=-6+1?=-5。 (1)求(-2)⊕3的值; (2)若3⊕x的值小于13,求x的取值范围,并在图所示的数轴上表示出来.
中考数学专题复习新定义题型
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