全国大学生数学建模优秀论文 易拉罐形状和尺寸的最优设计方案
摘要：本文讨论的是在体积一定的情况下，满足成本最低即用料最省的易拉罐形状
和尺寸的最优设计方案。 问题一，我们对十种常见饮料的易拉罐的罐体直径、圆台直径、罐体高度等八项指标进行了实际测量，得到了比较精确的数据。 问题二，将易拉罐分为各处壁厚相同、壁厚不同以及兼顾不同壁厚与焊接长度三种情形；分别建立了以易拉罐表面积、材料体积以及材料体积和焊缝长度为目标函数，容积一定为约束条件的非线性规划模型。通过理论推导(拉格朗日乘数法)求得h与r关系的解析解分别为
?1.5?0.5c??1c?h??2，并用实测数据进行验证，ha?dh?2、?、r?rrc?1?a?d?实测数据与理论结果吻合效果较好。
问题三，类似于问题二，我们也分上述三种情形分别建立非线性规划模型，再用拉格朗日乘数法求得解析解之后，用Matlab 6.5编程求得结果，并用配对样本t检验，说明实测数据与理论结果基本相符。 问题四，在问题三的基础上，我们引入黄金分割点，综合考虑压强、环保，同时兼顾材料最省，设计了一种兼顾各种优点的新型易拉罐，各项指标见正文表6。 问题五，根据数学建模的经历阐述了数学建模的含义、关键之处和难点。 本文对易拉罐形状和尺寸的最优设计综合考虑了多方面的影响因素，并巧妙应用拉格朗日乘数法求出了最优解析解，具有较强的实用性和推广性。
关键词：非线性规划、拉格朗日乘数法、配对样本t检验
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一、问题重述
我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同。看来，这并非偶然，而应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
1.取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，并把数据列表加以说明；解答以下各问。
2. 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸。
3.设易拉罐的中心纵断面的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
4.利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。
5.用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文阐述什么是数学建模及其关键步骤以及难点。
二、模型假设
1．各种易拉罐的上面的拉环生产成本固定，不受易拉罐形状和尺寸的影响； 2．易拉罐的容积是一定的；
3. 易拉罐所有材料的密度都相同，材料的价格与其体积成正比； 4．易拉罐圆台部分顶盖到侧面间的坡度为0.3[1]。
三、符号说明
M：规划的目标函数；
S：易拉罐的表面积； V：易拉罐的体积；
c：易拉罐侧面的厚度； d：易拉罐底面的厚度；
l：圆台的母线长度；
r：正圆柱体形易拉罐底面的半径； r1：圆台上表面的半径； r2：圆台下表面的半径；
h：易拉罐侧面的高度；
Z：易拉罐焊缝的长度； Y：易拉罐所材料量；
?i：为各部分的系数?i?1,2,3,??；
?i：为各部分的系数?i?1,2,3,??； ?i：为各部分的系数?i?1,2,3,??；
Pj：易拉罐的各种压强?j?1,2,3,4?；
P：易拉罐底的弧面面积；
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a：易拉罐上顶的厚度；
b：易拉罐圆台部的厚度；
?：易拉罐底的搭接角； m：圆台的高；
?：易拉罐的美观度；
?：易拉罐底面的圆弧角
四、模型分析
问题一：
可以借助物理仪器，如游标卡尺、螺旋测微仪测量易拉罐的高度、直径、顶面、底面、圆台侧面、圆柱侧面的厚度
问题二：
对于一个体积给定的正圆柱体，最优设计应该考虑材料最省，可以分为易拉罐各点罐壁厚度相同和各点罐壁厚度不同这两种情况。因此，最优设计可以通过建立以用料最省、焊缝最短为目标函数，以体积一定为约束条件的规划模型予以解决。
具体地可以按以下步骤求解其最优设计：
首先，考虑最简单的情况：易拉罐各点罐壁厚度相同。将表面积的大小作为目标函数，建立非线性规划模型一，求解该正圆柱体的表面积最小时所对应的尺寸（半径和高的比值）；
然后，考虑易拉罐各点罐壁厚度不同。以用料最少作为目标函数，建立模型二，通过拉格朗日乘数法求解易拉罐的最优尺寸；
再进一步考虑易拉罐焊缝增加的工作量。我们将焊缝的长短也作为目标函数之一，在模型二的基础上建立模型三，同样通过拉格朗日乘数法求解最优尺寸；
最后，为了验证模型求解的结果是否准确，我们考虑把问题一所得的数据代入进行检验，看理论值与实际值是否吻合，把它作为衡量模型求解结果好坏以及实际值是否合理的标准。
问题三：
易拉罐的纵断面上部是圆台，下部是正圆柱体，对于这一设计，同样按照问题二的分析方法，逐步求解易拉罐的最优尺寸，依次建立模型四、五、六，同样通过拉格朗日乘数法求解。
为验证求解结果是否正确，把实际数据代入模型进行检验。
问题四：
日常生活中，面对同样的饮料，消费者更青睐于美观大方、安全方便的产品。因此，在满足用料最省的前提下，我们引入黄金分割和压强，在兼顾二者的前提下建立优化模型。
具体地，我们可以从以下几个方面来考虑：
（一）增加美观度，引入黄金分割点来判断，使得易拉罐的外形达到最优。 （二）考虑压强变化所引起的底面弧度变化，一方面使得用料最省，另一方面对于不同种类饮料，作出不同类的易拉罐设计。
（三）考虑改变易拉罐的材料，例如可以使用纸质材料，使得更环保，更安全。
最终作出新型易拉罐的设计图。
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