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离散数学的基础知识点总结

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离散数学的基础知识点总结

第一章 命题逻辑

1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假;

5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项;

7.n个变元共有2n个极小项或极大项,这2n为(0~2n-1)刚好为化简完后的主析取加主合取;

8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式;

9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则

①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第二章 谓词逻辑

1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^;

3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词;

第四章 集合

1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|;

3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有2个元素,|P(A)|=2|A|=2; 5.集合的分划:(等价关系)

①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较:

分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次;

第五章 关系

1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基数为mn,A到B上可以定义2种不同的关系;

2.若集合A有n个元素,则|A×A|=n2,A上有2n个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 全封闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性;

2nnmn4.前域(domR):所有元素x组成的集合; 后域(ranR):所有元素y组成的集合; 5.自反闭包:r(R)=RUIx; 对称闭包:s(R)=RUR-1; 传递闭包:t(R)=RURURU……

6.等价关系:集合A上的二元关系R满足自反性,对称性和传递性,则R称为等价关系;

7.偏序关系:集合A上的关系R满足自反性,反对称性和传递性,则称R是A上的一个偏序关系; 8.covA={|x,y属于A,y盖住x};

9.极小元:集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一); 极大元:集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一); 最小元:比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一); 最大元:比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一); 10.前提:B是A的子集

上界:A中的某个元素比B中任意元素都大,称这个元素是B的上界(若存在,可能不唯一);

下界:A中的某个元素比B中任意元素都小,称这个元素是B的下界(若存在,可能不唯一);

上确界:最小的上界(若存在就一定唯一); 下确界:最大的下界(若存在就一定唯一); 第六章 函数

23mn1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有2种不同的关系,有n种不同的函数;

m2.在一个有n个元素的集合上,可以有2n种不同的关系,有nn种不同的函数,有n!种不同的双射;

3.若|X|=m,|Y|=n,且m<=n,则从X到Y有Am种不同的单射; n4.单射:f:X-Y,对任意x1,x2属于X,且x1≠x2,若f(x1)≠f(x2); 满射:f:X-Y,对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应;

双射:f:X-Y,若f既是单射又是满射,则f是双射; 5.复合函数:fog=g(f(x)); 6.设函数f:A-B,g:B-C,那么

①如果f,g都是单射,则fog也是单射; ②如果f,g都是满射,则fog也是满射; ③如果f,g都是双射,则fog也是双射; ④如果fog是双射,则f是单射,g是满射;

第七章 代数系统

1.二元运算:集合A上的二元运算就是A2到A的映射;

2. 集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数,即从从A×A到A上函数的个数,若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为22*2=24=16种;

23. 判断二元运算的性质方法: ①封闭性:运算表内只有所给元素; ②交换律:主对角线两边元素对称相等;

③幂等律:主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同; ④有幺元:元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同; ⑤有零元:元素所对应的行和列的元素都与该元素相同;

4.同态映射:,,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由的同态映射;若f是双射,则称为同构;

第八章 群

1.广群的性质:封闭性;

半群的性质:封闭性,结合律;

含幺半群(独异点):封闭性,结合律,有幺元; 群的性质:封闭性,结合律,有幺元,有逆元; 2.群没有零元;

3.阿贝尔群(交换群):封闭性,结合律,有幺元,有逆元,交换律; 4.循环群中幺元不能是生成元; 5.任何一个循环群必定是阿贝尔群;

第十章 格与布尔代数

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