2003考研数三真题及解析

由天下分享时间：2025/3/1 20:57:44 加入收藏我要投稿点赞

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2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

1???xcos,若x?0,(1) 设f(x)?? 其导函数在x?0处连续，则?的取值范围是x若x?0,??0,22(2) 已知曲线y?x?3ax?b与x轴相切，则b可以通过a表示为b?32.

(3) 设a?0，f(x)?g(x)???a,若0?x?1,而D表示全平面，则

0,其他，? .

I???f(x)g(y?x)dxdy=

DTT(4) 设n维向量??(a,0,?,0,a),a?0；E为n阶单位矩阵，矩阵A?E???，

1??T，其中A的逆矩阵为B，则a? . a(5) 设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, 若Z?X?0.4，则Y与Z的相关系数为

B?E? .

(6) 设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本，

1n2则当n??时，Yn??Xi依概率收敛于

ni?1 .

二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f?(0)存在，则函数g(x)?f(x) ( ) x(A) 在x?0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x?0. (C) 在x?0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x?0.

(2) 设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是 ( )

(A) f(x0,y)在y?y0处的导数等于零. (B)f(x0,y)在y?y0处的导数大于零. (C) f(x0,y)在y?y0处的导数小于零. (D) f(x0,y)在y?y0处的导数不存在. (3) 设pn? .

an?an2，qn?an?an2，n?1,2,?，则下列命题正确的是 ( )

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(A) 若

?an?1??n条件收敛，则

?pn?1??n与

?qn?1??n都收敛.

(B) 若

?an?1n绝对收敛，则

?pn?1n与

?qn?1n都收敛.

a?b(C) 若?an条件收敛，则?pn与?qn敛散性都不定.

n?1n?1n?1???(D) 若

?an?1?n绝对收敛，则

?pn?1?n与

?qn?1?n敛散性都不定.

?abb???(4) 设三阶矩阵A?bab，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有 ( ) ????bba??(A) a?b或a?2b?0. (B) a?b或a?2b?0.

(5) 设?1,?2,?,?s均为n维向量，下列结论不正确的是 ( )

(A) 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2???ks?s?0，则?1,?2,?,?s线性无关.

(B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有

k1?1?k2?2???ks?s?0.

(D) ?1,?2,?,?s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.

(6) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件( ) (A) A1,A2,A3相互独立. (B) A2,A3,A4相互独立. (C) A1,A2,A3两两独立. (D) A2,A3,A4两两独立.

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三、(本题满分8分)

设f(x)?续.

四、(本题满分8分)

11111??,x?[,1)，试补充定义f(1)使得f(x)在[,1]上连?xsin?x?(1?x)22?2f?2f12??1设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又g(x,y)?f[xy,(x?y2)], 22?u?v2?2g?2g求?2. 2?x?y

五、(本题满分8分)

计算二重积分

I???e?(xD2?y2??)sin(x2?y2)dxdy.

其中积分区域D?{(x,y)x2?y2??}.

六、(本题满分9分)

x2n(x?1)的和函数f(x)及其极值. 求幂级数1??(?1)2nn?1?n

七、(本题满分9分)