[基础题组练]
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1．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，
2则x＝( )
A．－2 C．－3
B．－4 D．－1
11
解析：选D.因为a－b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝b，则b＝(－4，2)．所以2a＋b＝(－
222，6)．又(2a＋b)∥c，所以－6＝6x，x＝－1.故选D.
2．(2024·安徽合肥第一次质检)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为( )
68
－，? A.??55?68，－? C.?5??5
B．(－6，8) D．(6，－8)
解析：选D.因为向量b与向量a方向相反，所以可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b|＝9λ2＋16λ2＝25λ2＝5|λ|＝－5λ＝10，所以λ＝－2，所以b＝(6，－8)．故选D.
→→→→→3．已知向量AC，AD和AB在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若AC＝λAB＋→
μAD，则λ＋μ等于( )
A．2 C．3
B．－2 D．－3
解析：选A.如图所示，建立平面直角坐标系，
→→→
则AD＝(1，0)，AC＝(2，－2)，AB＝(1，2)．
1
??2＝λ＋μ，→→→
因为AC＝λAB＋μAD，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以?
?－2＝2λ，??λ＝－1，?
解得?所以λ＋μ＝2.故选A.
?μ＝3.?
4．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是( )
A．(－∞，4) C．(－∞，4)∪(4，＋∞)
B．(4，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：选C.平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，由平面向量基本定理可知，向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量．又因为a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，则m×2－(3m－4)×1≠0，即m≠4，所以m的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内的π→→→
点，且∠AOC＝，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝( )
4
A．22 C．2
B．2 D．42
π→→→
解析：选A.因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(2，2)，又因为OC＝λOA＋μOB，所以
4(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.
→1→→→
6．(2024·湖北荆门阶段检测)在△AOB中，AC＝AB，D为OB的中点，若DC＝λOA＋
5→
μOB，则λμ的值为________．
→1→→1→→→1→
解析：因为AC＝AB，所以AC＝(OB－OA)，因为D为OB的中点，所以OD＝OB，
5521→1→→1→→4→3→→→→→→
所以DC＝DO＋OC＝－OB＋(OA＋AC)＝－OB＋OA＋(OB－OA)＝OA－OB，所
225510436
以λ＝，μ＝－，则λμ的值为－.
51025
6答案：－
25
→→→→→
7．已知O为坐标原点，向量OA＝(1，2)，OB＝(－2，－1)，若2AP＝AB，则|OP|＝________. →→→→解析：设P点坐标为(x，y)，AB＝OB－OA＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，AP＝(x
??2x－2＝－3，→→
－1，y－2)，由2AP＝AB得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，所以?解得
?2y－4＝－3，?
?
?1?y＝2.1x＝－，
2
2
→故|OP|＝
答案：
112＋＝. 4422 2
→
8．已知A(－3，0)，B(0，3)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，OC＝→→
λOA＋OB，则实数λ的值为________．
→→
解析：由题意知OA＝(－3，0)，OB＝(0，3)， →
则OC＝(－3λ，3)，
由∠AOC＝30°知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，所以tan 150°＝3， －3λ即－33
＝－，所以λ＝1. 33λ
答案：1
→→→→
9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，→
CN＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； →
(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
???－6m＋n＝5，?m＝－1，所以?解得?
??－3m＋8n＝－5，n＝－1.??
→→→
(3)设O为坐标原点，因为CM＝OM－OC＝3c， →→
所以OM＝3c＋OC＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． →→→
所以M(0，20)．又因为CN＝ON－OC＝－2b， →→
所以ON＝－2b＋OC＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， →
所以N(9，2)．所以MN＝(9，－18)． 10.
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高考理科数学一轮复习分层练习第五章平面向量基本定理及坐标表示
