【点睛】
本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
9．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K． （1）如图1，求证：KE＝GE； （2）如图2，连接CABG，若∠FGB＝
1∠ACH，求证：CA∥FE； 23，AK＝10，求CN5（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sinE＝的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）△EAD是等腰三角形．证明见解析；（3）【解析】 试题分析：
2010. 13（1）连接OG，则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA可得∠AGO=∠OAG，从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG，这样即可得到KE=GE；
（2）设∠FGB=α，由AB是直径可得∠AGB=90°，从而可得∠KGE=90°-α，结合GE=KE可得
∠EKG=90°-α，这样在△GKE中可得∠E=2α，由∠FGB=∠E=∠ACH，由此即可得到CA∥EF； （3）如下图2，作NP⊥AC于P，
由（2）可知∠ACH=∠E，由此可得sinE=sin∠ACH=CH=4a，则tan∠CAH=
1∠ACH可得∠ACH=2α，这样可得2AH3?，设AH=3a，可得AC=5a，AC5CH4?，由（2）中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC，从而可AH3AH?3，AK=10a，结合AK=10可得a=1，HK得CK=AC=5a，由此可得HK=a，tan∠AKH=
则AC=5；在四边形BGKH中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，结合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG可得∠ACG=∠AKH， 在Rt△APN中，由tan∠CAH=tan∠ACG=
4PN?，可设PN=12b，AP=9b，由3APPN5?tan∠AKH=3可得CP=4b，由此可得AC=AP+CP=13b=5，则可得b=，由CP13此即可在Rt△CPN中由勾股定理解出CN的长. 试题解析：
（1）如图1，连接OG．
∵EF切⊙O于G， ∴OG⊥EF，
∴∠AGO+∠AGE=90°， ∵CD⊥AB于H， ∴∠AHD=90°， ∴∠OAG=∠AKH=90°， ∵OA=OG， ∴∠AGO=∠OAG， ∴∠AGE=∠AKH， ∵∠EKG=∠AKH， ∴∠EKG=∠AGE， ∴KE=GE． （2）设∠FGB=α， ∵AB是直径， ∴∠AGB=90°，
∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α， ∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，
1∠ACH， 2∴∠ACH=2α， ∴∠ACH=∠E， ∴CA∥FE．
∵∠FGB=
（3）作NP⊥AC于P． ∵∠ACH=∠E， ∴sin∠E=sin∠ACH=则CH=2AH3?，设AH=3a，AC=5a， AC52AC?CH?4a，tan∠CAH=
CH4?， AH3∵CA∥FE， ∴∠CAK=∠AGE， ∵∠AGE=∠AKH， ∴∠CAK=∠AKH，
∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH=∵AK=10， ∴
AH=3，AK=AH2?HK2?10a， HK10a?10，
∴a=1．AC=5， ∵∠BHD=∠AGB=90°， ∴∠BHD+∠AGB=180°，
在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°， ∴∠ABG+∠HKG=180°， ∵∠AKH+∠HKG=180°， ∴∠AKH=∠ABG， ∵∠ACN=∠ABG， ∴∠AKH=∠ACN， ∴tan∠AKH=tan∠ACN=3， ∵NP⊥AC于P， ∴∠APN=∠CPN=90°， 在Rt△APN中，tan∠CAH=在Rt△CPN中，tan∠ACN=∴CP=4b， ∴AC=AP+CP=13b，
PN4?，设PN=12b，则AP=9b， AP3PN=3， CP∵AC=5， ∴13b=5， ∴b=
5， 132010． 13∴CN=PN2?CP2=410?b=
10．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．
（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；
（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．
①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B． ②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②【解析】
【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；
（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；
②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．
【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ， ∵PF∥BC，
13 . 或23∴∠DFP=∠ADF， ∴∠DFQ=∠ADF， ∴△DEF是等腰三角形；
（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时， ∵∠P′DF′=∠PDF，
∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC， ∴∠P′DC=∠F′DB，
由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF， ∵PF∥BC， ∴△DPF∽△DCB， ∴△DP′F′∽△DCB ∴
DCDP'? ， DBDF'∴△DP'C∽△DF'B；
②当∠F′DB=90°时，如图所示， ∵DF′=DF=∴
1BD， 2DF'1?， BD2DF'1?； BD2∴tan∠DBF′=
当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB，不符合题意； 当∠DF′B=90°时，如图所示，
1BD， 2∴∠DBF′=30°，
∵DF′=DF=∴tan∠DBF′=3. 3
备战中考数学锐角三角函数(大题培优易错试卷)含答案
