平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示
上海曹杨二中 桂思铭
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一、内容和内容解析
2．3平面向量的基本定理及坐标表示这一节内容有4个小节内容，2.3.1平面向量基本定理，2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示,2.2.3平面向量的坐标运算,2.3.4平面向量共线的坐标表示.根据教师教学参考用书的要求,这四小节内容分两个课时完成.从教学内容来看,前两小节的内容主要是坐标向量概念的构建,而其核心的内容是平面向量基本定理;后两小节的内容以运用概念计算计算为主.基于教学内容的特点及让学生对平面向量基本定理能有个完整的认识,建议将本节的前两个小节内容作为一个整体用一个课时进行教学.
本节内容是平面向量章节中的承前启后的内容，本节内容以前的教材是由实际问题引入向量概念，然后研究向量的线性运算，它集中地反映了向量的几何特征，通过本节的学习将有助于回顾前面的知识,更好地运用自由向量来解决几何问题;本节之后的教材主要是研究向量的代数运算，向量的优势更多地体现在于沟通几何与代数的联系，进而通过代数运算来研究几何和其它的问题,连接前后两者之间的一个关节是向量基本定理,因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解才能建立坐标系、进行代数运算.所以在向量知识体系中这个定理具有核心地位，另外就学生的数学学习而言，这一内容也能很好地体现数学化的过程，并且它充分地展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，这有助于学生体会数学的思维方式和方法，帮助学生进行数学的思考和数学的说理，这在学生的数学能力的发展上也是十分重要的一个环节，教学过程的落实展开除了数学知识的学习以外，还应关心学生数学能力的发展，让学生充分地体会这节内容在数学学习中很有意义.
二、目标和目标解析 1.掌握平面向量的基本定理
这里的掌握体现在(1)学生能从具体的问题来说明向量在一组基底上分解的唯一性;(2)在给出的具体问题中能选择适当的基底来便捷地解决问题,目的是帮助理解基底的意义;(3)将“唯一分解”与向量与实数对的“一一对应”建立联系，认识数学的思维方式，体会数学的严谨性和条理性.
2.理解向量坐标的定义,并能用坐标表示坐标平面上的向量
这里通过学生在物理中已有的认知,来进一步从数学上学习正交分解,结合向量及平面直角坐标系的相关基础正确把握坐标向量的意义.
3.反思向量坐标的建立过程,体会数学的思维方式与方法
这里要求注意几个问题(1)数学的严谨性与数学学习中的适度严谨,推理与直观;(2)用联系的观点进行知识迁移.
三、教学问题诊断分析
1.本节的内容是围绕向量在两个基底上的唯一分解展开的，对于基底的认识和理解是学生在学习中已在运用的,在物理中已有了将力、速度（向量）进行分解合成的经验，在前面的向量学习中已有向量线性运算的经验，只是没有专门提出而已,所以引入基底这一概念应该是比较自然的，但相当一部分学生在学习中只是依样画葫芦，并不清楚引入基底这个概念的意义，当然更不能很好地选择、运用基底进行运算求解,解决这一问题的关键在于教师如何进行分析说理，让学生理解基底的作用及意义.所以在这一点上教师应注意在教学中进行设计引导.
2.有些学生在学习中只是从形式上加以记忆,缺乏对问题本质的理解,从卷面上看学生可能不会有什么大的问题,但学生对于数学的理解肯定会产生影响,所以在这一内容的教学中教师要不断地帮助学生进行反思,通过对教学过程的反思来帮助学生改进学习方法,这也是改善学生的思维品质,提升学生的数学能力的一个途径,这一过程是隐性的、长期的，但这也是必须的.
3.学生在向量的学习中存在的一个困难是学生在理解始点不在坐标原点的向量的坐标表示时会出现障碍，其原因是在直角坐标系中点和点的坐标是一一对应的,到了向量时,向量的坐标只是和从原点出发的向量一一对应,但只要结合向量相等的条件学生应该容易克服这一难点,不过值得注意的是在后面学生用向量求点的坐标时还会产生问题,如已知了
向量及点
的坐标求点
的坐标,有些学
生还会发生错误,这时还必须结合图形及向量的坐标帮助学生进行理解,必须使学生在这种特定的场合中明白:要求点
的坐标就是要求向量
的坐标.同样一个
问题也需要学生从不同的侧面来帮助理解.
四、学习行为分析
1.学生在学习中容易就事论事,本节内容及以后的向量教学内容主要是向量的代数形式,但还是要引导学生从数和形两个方面进行思考,因为我们这里用向量研究的许多问题往往与几何有关,通过图形能帮助学生更好地理解数学.如不将几何直观和代数运算联系起来容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换而失去其内在的价值. 如果不加启发与引导，学生是不会从“基底”、“维数”这些角度去理解平面向量基本定理的深刻内涵，也难以认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用.
2.对本课的教学过程的反思是需要教师刻意去引导和指导的,学生若不加指导很少有人回去认真地去体会教材的结构体系及编写的目的意义,只有教师在平日的教学中不断地关注这些问题学生才会不断地关注教学过程、养成数学地思考的良好习惯.
五、教学支持条件分析
这里对于平面向量基本定理的研究,并不是严格的证明,为了能便于说明问题建议通过教育技术的运用来帮助学生理解,这一过程最好能在教学中有充分地展现,这也是关注教学过程,帮助学生养成动手动脑的习惯.另外现在的许多软件具有很强的交互性,所以在教学中可以充分地运用技术,使学生的学习富有乐趣同时又可以通过不同的方式来刺激学生,帮助学生迅速地掌握教学内容
六、教学过程设计
1.我们看习题2.2(A组)12题:
中,相交于点
,
,设.
,,
,且与边,用
相交于点
,
,,
的中线,
,
与,
表示向量
类似的问题我们在例题和习题中还有反映. 从问题中我们不难发现,图中所有的向量都可用向量两个不共线的向量来表示呢?
来表示,那么自然地
会问这样一个问题:平面内的任意一个向量是否都能用类似12题的方法,用给定的
估计学生会通过作图来说明这一问题,在解决问题时可能要提醒学生,这里的向量是自由向量,其始点是可以移动的,所以在用纸笔作图时,将三个向量的起点放在一起可便于研究问题.教师可循着学生的思路通过计算机作图来帮助其他学生认清这个问题. 2.对于给定的向量及向量引导学生得出结论向量的影响.
3.事实上在物理上也常有将一个力分解成若干个力,将几个力合成为一个力. 4.现在的问题是对于给定的向量的.
平面向量基本定理 如果
,
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平
,
使
,其中的
,
是否一定是唯一确定
,
,若要将用
,
表示其形式是怎样的?
、对于
.教师也可以通过在电脑上作图来展示
面内的任意向量,有且只有一对实数我们把不共线的向量
,
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(base)
5.实际上前面已经在不自觉地利用基底解题,如我们在计算力,与速度问题时,常进行分解合成,目的也是将问题集中到两个向量(基底)上来处理.前面的习题中我们已经做了许多有关向量的加法、减法、数乘，再加上今天的向量基本定理，我们就可以将一个问题中的若干向量集中到两个向量上来处理，这样就方便了我们的计算.
看下面的问题,已知平行四边形
点，且平行四边形 证 设
,
则
中,
、
是对角线
、
上的两也是
，试用向量方法证明四边形
,
而所以
,四边形
.
为平行四边形.
这里我们很自然地会将问题中所涉及的向量集中到,两个基向量上.我们可通过先前所学的向量线性运算进行向量式的化简、变形进而证明结论.当然基底不是唯一的,你可以选择适当的基底来处理问题,让问题解决的过程变得简单易行.
6.不共线的向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:
已知两个非零向量,,作向量,的夹角.
当
时,与同向;当
时, 与反向.
.
,
,则
(
)叫做
如果与的夹角是.我们说与垂直,记作
7.用光滑斜面上木块的受力为例说明正交分解.
这个问题学生相对是比较熟悉的可比较快地通过,也可以让学生说说在物理中正交分解的优越性.
8.请学生结合向量基本定理及正交分解,思考平面内的任一向量是否都可以用轴和轴上的单位向量来表示.
9设轴和轴上的单位向量分别用向量和来表示.试用和来表示图中的向量.
平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示正式版
