（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 （5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4、平行四边形的面积 S平行四边形=底边长×高=ah 二、矩形
1、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2、矩形的性质
（1）矩形的对边平行且相等 （2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等且互相平分
（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 （3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 4、矩形的面积 S矩形=长×宽=ab 三、菱形
1、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、菱形的性质
（1）菱形的四条边相等，对边平行 （2）菱形的相邻的角互补，对角相等
（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4、菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 四、正方形 （3~10分） 1、正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2、正方形的性质
（1）正方形四条边都相等，对边平行 （2）正方形的四个角都是直角
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有
四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。
3、正方形的判定
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证它是菱形。 先证它是菱形，再证它是矩形。 4、正方形的面积
设正方形边长为a，对角线长为b
S正方形=a2?b22
五、等腰梯形
1、等腰梯形的定义
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 2、等腰梯形的性质
（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。 （3）等腰梯形的对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。 3、等腰梯形的判定
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （3）对角线相等的梯形是等腰梯形。（选择题和填空题可直接用） 六、三角形中的中位线
1、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 3、常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 七、有关四边形四边中点问题的知识点：
（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形； （2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形； （3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形； （4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；
（5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形； （6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；
（7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；
第四章 视图与投影
1、投影
投影：物体在光线的照射下，在地面上或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象。 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。
中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。 2、视点、视线、盲区
第五章 反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地如果两个变量x，y之间的关系可以表示为y?kx（k是常数，k?0）的形式，
?1那么称y是x的反比例函数。（反比例函数的解析式也可以写成y?kx的形式。自变量x
的取值范围是x?0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。） 2、反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x?0，函数y?0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 y O x ①x的取值范围是x?0， y的取值范围是y?0； ②当k>0时，函数图象的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 k>0 y?kx(k?0) k<0 y O x ①x的取值范围是x?0， y的取值范围是y?0； ②当k<0时，函数图象的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随x 的增大而增大。 图象 性质
4、反比例函数解析式的确定
确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y?kx中，只有一
个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
过反比例函数y?kx(k?0)图像上任一点P（x,y）作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂
足分别是M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PM?PN=y?x?xy。
?y?kx,?xy?k,S?k。
第六章 频率与概率
概率的求法：
（1）一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为P（A）=
mn
（2）、列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 （3）树状图法
通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
（当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。）
北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总
第一章 直角三角形边的关系
※一. 正切：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即．．
tanA??A的对边?A的邻边;
①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比； ③tanA不表示“tan”乘以“A”；
④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；
⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大； ∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
※二. 正弦： ．．定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA??A的对边斜边;
※三. 余弦：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA??A的邻边斜边;
※余切： 定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA??A的邻边?A的对边;
※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A为锐角，则 0o 30 o 45 o 60 o 90 o ①sinA?cos(90???A)；
sinα cosα 0 1 0 — 12 2222 3212 1 0 — 0 cosA?sin(90???A) ；
3233②tanA?cot(90???A)tanα cotα 1 1 333cotA?tan(90???A)
3※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线
所成的锐角称为仰角 ．．
※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角称为俯角 ．．
※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当
角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。 ※同角的三角函数间的关系：
倒数关系：tgα·ctgα=1。
图1
※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有 (1)三边之间的关系：a2+b2=c2；
(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°； (3)边与角之间的关系：
sinA?ac,cosA?bc,tanA?ab,cotA?ba;
北师大版初中数学各册章节知识点总结
