《数学专题复习之规律探索题》
一 数字递进式规律探索题
题型特征：在一组数列（或一组图形）中，后一个数字（图形数量）与前一个数字（图形数量）的差（或商）是一个定值（在高中数学中称之为等差数列和等比数列）。以考查“等差数列”的为主。
典型题例
例1.观察规律并填空， （1）4，7，10，13，16， ， ……；第100个数是 ，第n个数是 。 （2）2，-4，8，-16，32， ， ……；第100个数是 ，第n个数是 。 （3）0，3，8，15，24， ， ……；第100个数是 ，第n个数是 。
题型分析与解题策略：第（1）小题后一个数与前一个数的差是3，后两个填空显然是16＋3＝19，19＋3＝22，但第100个数肯定不能一个一个加上去了，所以先求出第n个数的表达式是解题关健。求第n个数的表达式最有效的方法：①将公差3和n相乘即得3n；②把n用1代入3n计算的结果与第一个数比较大小；③若计算结果太大了就减去某个数，若计算结果太小了就加上某个数使得最终结果等于第一个数值，即可得到化简好的公式。（本题计算结果是3，与4比较太小了所以加1，即得第n个数的表达式为3n＋1）。
第（2）小题后一个数字与前一个数字的商是个固定值－2，（此类等比数列在中考题中，一般是以特殊数列出现为主（如以2n、3n形式出现）或者数字与图形相结合，一般的单纯数字等比数列不大会考）后两个填空显然是32×（－2）＝－64，（－64）×（－2）＝128，或者先不考虑符号将数列看成是2n ，易得第100个数为?2100，第n个数为
??1?n?1?2n。
第（3）小题后一个数字与前一个数字的差的差是一个固定值2（这种数列我们姑且称之为“二阶等差数列”，在中考中也仅仅考的是特殊情况：某一个数的平方减去一个固定值可得如本题第n个数为n?1）或者与图形相结合（如变式训练3的三角形数的计算）可从简单图形入手，抓住“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上的变化情况解题。 变式训练
1. （2010湖北荆州）用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是 ．
1
2分析：图形的数量问题可转换为例题1（1）的数列问题即为数列：5，8，11，…后一个数
字与前一个数字的差为固定值3可采用例1中的方法解决问题。填3n+2
2.（2009丽水）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为
1的正三角形纸板后得到图②，然2后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边
长的
① ② ③ ④
分析：该题可类比为例题1（2）的数列问题即后一个Pn-Pn-1的值与前一个Pn-1-Pn-2的值的商为固定值
…
1）后，得图③，④，…，记第n(n≥3) 块纸板的周长为Pn，则Pn-Pn-1= . 211n?1。填() 223.（2010山东日照）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
（A）15 （B）25 （C）55 （D）1225
二 数字循环型规律探索题
题型特征：此类问题中的数据或图形往往按照一定的规律不断重复出现，有一个固定的循环节。
例2. （玉林市2005年改编）观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)： ●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●…… 从第1个球起到第2011个球止，共有实心球的个数为 （ ）
A．600 B．604 C．532 D．2011
2
解题策略与题型分析：这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○。每个循环节里有3个实心球。我们只要知道2011包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数。因为2011÷10=201（余1）。所以，2011个球里有201个循环节，还余1个球。201个循环节里有201×3=603个实心球，剩下的1个球也是实心球。所以，一共有604个实心球。循环类规律探索题可以以很多种形态呈现，纯数字、图形、图像变换等，解题关键是抓住循环节以及循环节内的数据特征。 变式训练
1.（2010广东深圳改编）观察下列算式，用你所发现的规律得出22011的末位数字是（ ）
21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…
A 2 B 4 C 6 D 8
2.（2010重庆）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（ ）
A． 图① B． 图② C． 图③ D． 图④
3.（2009年浙江省金华市）在直角坐标系中，已知点A(3,2).作点A关于y轴的对称点为A1, 作点A1关于原点的对称点为A2, 作点A2关于x轴的对称点为A３，作点A３关于y轴的对称点为A4，…按此规律，则点A8的坐标为 .
4.（2006年浙江省绍兴市）如图，将边长为1的正方形OAPB沿z轴正方向连续翻转2 006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006=__________．
yPBP1P4……OAP2(P3)x四 课后作业
1．（2010广东茂名）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子( )
………………
？
第n个“口”
第1个“口” 第2个“口” 第3个“口”
A．4n枚 B．(4n-4)枚 C．(4n+4)枚 D． n2枚
2．（2010重庆綦江县）观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2010这个数在第_______个三角形的_________顶点处（第二空填：上、左下、右下）．
3
14710
……
2第1个三角形35第2个三角形68第3个三角形911第4个三角形123．(2009年河北)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ） A．13 = 3+10 B．25 = 9+16 C．36 = 15+21 D．49 = 18+31
4．将正数按如图所示的规律排律下去。若用有序实数对（n , m)表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数__________
5．（2010江苏常州）如图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字。电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是 。
6．（2010北京）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D．请你按图中箭头所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是 （用含n的代数式表示）．
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《数学专题复习之规律探索题》
