第3讲
质数与合数
编写说明
阿拉伯数字无疑是人类历史上最伟大的发明之一，其本身蕴含的规律更是数学学科中最璀璨的明珠！质数和合数的分类产生了哥德巴赫猜想等世界著名的命题，学习质数和合数，窥探数字的奥秘！
知识要点
对于自然数a和b（b?0），若a?b没有余数，则a是b的倍数，b是a的约数。特殊地，0是任意非零自然数的倍数。
质数：除了1和本身，没有其他约数的自然数叫质数。
合数：除了1和本身，还有其他约数的自然数叫合数。
特殊地，1既不是质数也不是合数。
最小的合数是4，最小的质数是2，且2是唯一的偶质数。
质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
南京清江花苑严老师
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【例1】 对7个不同质数求和，和为58，则最大的质数是多少？ 【分析】 七个质数若全部是奇数，则和一定是奇数，而58是偶数，则七个质数中必定含有唯一的偶质数2，
所以最小的质数是2，从2开始，最小的七个连续质数是2，3，5，7，11，13，17，和为58，所以题中的七个质数只能是从2开始的七个连续质数，最大为17。
【温馨提示】2是唯一的偶质数，是偶数中的“叛徒”，所以质数也经常与奇偶性相结合，主要考察“2”.
【拓展】 已知a、b、c、d都是质数，且a?130?b?95?c?91?d?79，求a、b、c、d的值。 【分析】 b?95?c?91?d?79，所以b、c、d应该都是奇数，所以a是唯一的偶质数2，依此可求得：
a?2，b?37，c?41，d?53.
【例2】 从小到大写出5个质数，使后面数都比前面的数大12。这样的数有几组？ 【分析】 考虑到质数中除了2以外其余都是奇数，因此这5个质数中不可能有2；又质数中除了2和5，
其余质数的个位数字只能是1、3、7、9。若这5个质数中最小的数其个位数字为1，则比它大24的数个位即为5，不可能是质数；若最小的数其个位数字为3，则比它大12的数个位即为5，也不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是7和9，因此最小的数只能是5，这5个数依次是5，17，29，41，53。这样的数只有一组。
说明：除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9。这是此题的突破口。老师可以只推算个位数字就可以否定1、3、7、9，然后剩下个位数字是2和5，就很容易找到5。
【拓展】 如果某整数同时具备如下三条性质：① 这个数与1的差是质数，②这个数除以2所得的商也是
质数，③这个数除以9所得的余数是5，那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数。
【分析】 法一：由条件②可知，所求的数是偶数，因此可设所求的幸运数是质数p的两倍，即此幸运数为
2p，则p的所有可能取值为5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。于是2p-1
的所有可能取值为9，13，21，25，33，37，45，57，61，73，81，85，93。根据题目条件①，2p-1应为质数，因此2p-1只可能为13，37，61或73。再由条件③知2p-1除以9所得的余数应为4，于是2p-1只可能是13，从而这个幸运数只能是2p=14。
法二：从条件③入手，符合条件的偶数有：14，32，50，68，86，再由条件②排除掉32，50，68，最后由条件①排除掉86，所以这个幸运数是14。
【例3】 四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？
【分析】 分解质因数3024?24?33?7，考虑其中最大的质因数7，说明这四个自然数中必定有一个是7的
倍数。若为7，因3024不含有质因数5，那么这四个自然数可能是6、7、8、9或7、8、9、10（10仍含有5，不行），经检验6、7、8、9恰符合。
【温馨提示】根据乘积求因数，是分解质因数的一个重要运用.
【拓展】 2004×7×20的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？ 【分析】 首先分解质因数，2004×7×20=2×2×2×2×3×5×7×167，其中最大的质因数是167，所以所
要求的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数。165=3×5×11，166=2×83，168=2×2×2×3×7，169=13×13，所以165×166×167，166×167×168，167×168×169都没有4个2，不满足题意。说明167不可行。尝试334=167×2，335=5×67，336=2×2×2×2×3×7，334×335
2
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×336=2×2×2×2×2×3×5×7×67×167，包括了2004×7×20中的所有质因数，所以这组符合题意，以此三数之和最小为1005。
【拓展】 甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数。 【分析】 将6384分解质因数，6384＝2?2?2?2?3?7?19，则其中必有一个数是19或19的倍数；经试
算，19－5＝14＝2×7，19＋5＝24＝2×2×2×3，恰好14×19×24＝6384，所以这三个数即为14，19，24。一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析。如果这道题里19不符合要求，下一个该考虑38，再下一个该考虑57，依此类推。
【例4】 一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的
表面积是多少平方厘米?
【分析】 方法一：39270＝2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，所以33、34、35为满足题意的长、
宽、高．则长方体的表面积为：2×（长×宽＋宽×高＋高×长）＝2×（33×34＋34×35＋35×33） ＝6934(平方厘米)． 方法二：39270＝2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果17作为长、宽或高显然不满足．当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与34接近的数32～36中，只有35含有7，于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度．而39270的质因数中只剩下了3和1l，所以这个长方体的大小为33×34×35．长方体的表面积为：
2×（
392703927039270++）＝2×（1190＋1155＋1122）＝2×3467＝6934(平方厘米)． 333435
【拓展】 在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么
这个长方体的体积是多少?
【分析】 如上图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac?ab?209． ac?ab?a?(c?b)?209，而209?11?19．
当a?11时，c?b?19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则
c?b?2?17;
当a?19时，c?b?11，则c?b?2?9，b为9不是质数，所以不满足题意．
所以它们的乘积为11?2?17?374．
【例5】 4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油．每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8，
9，10，11，12，13．已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油?
【分析】 由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是4瓶油(连瓶)重量之和的3倍，即4瓶油(连瓶)共重
(8+9+10+11+12+13)÷3=21(千克)而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于
2是唯一的偶质数，只有两种可能：(1)油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重2千克，最重的两瓶内的油为13-瓶重
11×2=12(千克)．(2)油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只271919千克，最重的两瓶内的油为13-×2=2(千克)，这与油重之和2千克矛盾．因此最重的443
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两瓶内共有12千克油．
【例6】 从20以内的质数中选出6个，然后把这6个数分别写在正方体木块的6个面上，并且使得相对
两个面的数的和都相等。将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？
【分析】 小于20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，其中5+19=7+17=11+13。每个木块掷在地上后
向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是5+5+5=15，最大是19+19+19=57，经试验，三个数的和可以是从15到57的所有奇数，所有可能的不同值共有22个。
【拓展】 有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表
示方法至少有13种，那么所有这样的自然数中最小的一个是多少？
【分析】 在所有的质数中，从小到大第13个质数是41，因此在13种分解方法中，质数最大的那一组至少
是41?4?45。按题目要求分拆45有如下12种方法：45?3?42?5?40?7?38?11?34?13?32 ?17?28?19?26?23?22?29?16?31?14?37?8?41?4
按题目要求分拆46有如下7种方法：
46?2?44?7?39?11?35?13?33?19?27?31?15?37?9 按题目要求分拆47有如下14种方法 ：
47?2?45?3?44?4?43?5?42?6?41?7?40?10?37
?11?36?13?34?17?30?16?31?18?29?19?28?23?24因此满足题意的最小自然数是47。
【练习1】 4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，
最大的一个是多少？
【分析】 将360分解质因数得360=2×2×2×3×3×5，它是6个质因数的乘积。因为题述的四个数中只有一
个是合数，所有该合数必至少为6－3=3个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数，所以这4个乘数分别为3，3，5，8，所组成的最大四位数是8533。
【练习2】 9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个?
【分析】 大于80的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越多越好，9个连续的自然数中最多只
有5个奇数，它们的个位应该为1，3，5，7，9．但是大于80且个位为5的数一定不是质数，所以最多只有4个数．经验证101，102，103，104，105，106，107，108，109这9个连续的自然数中101、103、107、109这4个数均是质数．也就是大于80的9个连续自然数，其中质数最多能有4个．
【练习3】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，
那么这9个数字最多能组成多少个质数?
【分析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、
4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多组成了2、3、5、41、67、89这6个质数．
【练习4】 在放暑假的8月份，小明有五天是在姥姥家过的。这五天的日期除一天是合数外，其它四天的
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日期都是质数。这四个质数分别是这个合数减去1，这个合数加上1，这个合数乘上2减去1，这个合数乘上2加上1。问：小明是哪几天在姥姥家住的？
【分析】 由题意可知这个合数最大是16，16以内相差2的质数有3和5、5和7、11和13，那么对应
合数是4，6，12。经检验这个合数是6，四个质数分别是5，7，11，13。
【练习5】 若将17拆成若干个的质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少？ 【分析】 根据整数拆分原则：多拆3，少拆2，不拆1――拆分后乘积最大。若要使17拆成的不同质数
的乘积尽可能大，应该将17分解为5个3和1个2，所以最大乘积是3×3×3×3×3×2=486。 对于此类整数分拆的题，可以适当归纳一下：当这个数是3的倍数时，全部拆成3；当这个数除以3余1时，可拆成若干个3和两个2，如16可拆成4个3和两个2；当这个数除以3余2时，可拆成若干个3和一个2。
【练习6】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？
【分析】 210分解质因数：210?2?3?5?7，可知这三个数是5、6和7。
南京清江花苑严老师
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质数与合数(含答案)
