2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习题：第四章+第19讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数+Word版含解析2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习题：
第四章+第19讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数+Word版含解析
第四章 三角函数、平面向量与复数
知识体系 【p46】 1．三角函数
2．平面向量
3．复数
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第四章+第19讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数+Word版含解析
第19讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
夯实基础 【p47】
【学习目标】
1．了解任意角的概念、弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 2．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 【基础检测】
1．9°＝( ) ππππA. B. C. D. 3620109
9π
【解析】由角度制与弧度制的转化公式可知：9°＝π＝.故选B.
18020
【答案】B
2．已知sin θ·tan θ<0，那么θ是( )
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
sin2θ
【解析】由sin θ·tan θ＝<0，知sin θ≠0且cos θ＜0，
cos θ
故θ为第二或第三象限角．故选B. 【答案】B
?3，－1?在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为( )
3．已知点P
2??2
5π2π11π5πA. B. C. D. 6363
1
－
?3，－1?在第四象限，根据三角函数的定义可知tan θ＝2＝－3，
【解析】因为点P
32??23
2
11
则θ＝π.C正确．
6
【答案】C
4．如果一扇形的弧长为2π cm，半径等于2 cm，则扇形所对圆心角为( )
π3π
A．2π B．π C. D.
22
2π
【解析】由l＝α·r得，α＝＝π，故扇形所对的圆心角为π.
2
【答案】B 【知识要点】 1．角的概念
(1)正角、负角和零角
按逆时针方向旋转而成的角叫作正角；按顺时针方向旋转而成的角叫作负角；当一条射线没有作任何旋转时所成的角叫作零角．
(2)象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，角的终边落在第几象限，就把这个角称作第几象限角．
角的终边落在坐标轴上，称为轴线角，这个角不属于任何象限． (3)终边相同的角
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第四章+第19讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数+Word版含解析 所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子k·360°＋α，k∈Z或2kπ＋α，k∈Z表示．
2．弧度制 (1)概念：把长度等于__半径长__的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．
(2)扇形的弧长与面积公式：半径为r，中心角为α(rad)的扇形的弧长为l＝|α|r；面积为S11
＝lr＝|α|r2. 22
(3)角度制与弧度制的关系 π rad＝__180°__；
π1°＝ 弧度；
180
180?
1弧度＝?≈57.30°＝57°18′. ?π?°
3．任意角的三角函数 (1)三角函数的定义
yx
设P(x，y)是角α终边上任一点，且|PO|＝r(r＞0)，则有sin α＝____；cos α＝____；tan
rr
y
α＝____．它们都是以__角__为自变量，以__比值__为因变量的函数．
x
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：__一全正、二正弦、三正切、四余弦__． (3)三角函数线
三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用如图所示的有向线段MP，OM，AT分别表示角α的正弦、余弦、正切即正弦线、余弦线、正切线．要注意的是当α在第二、三象限时，α角的终边与过A的切线不相交，因而正切线中的T是其终边的反向延长线与过A的切线的交点． (4)三角函数的定义域、值域
y＝sin α，y＝cos α的定义域是__R__，值域是__[－1，1]__．
π??
y＝tan α的定义域是__?α∈R|α≠kπ＋2，k∈Z?__，值域是__R__．
??
典 例 剖 析 【p47】
考点1 任意角的三角函数定义
例1(1)若120°的终边上有一点(－1，a)，则a＝( )
33
A．－ B．－3 C. D.3
33
【解析】∵120°的终边上有一点(－1，a)，tan 120°＝－3，
a
根据三角函数定义，tan 120°＝，
－1
∴a＝3.故选D. 【答案】D
2π
(2)点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
3
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第四章+第19讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数+Word版含解析
3?31??1?A.－， B.－，－
2??22??2
3??1?31?C.－，－ D.－， 2??2?22?
【解析】由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos 【答案】A
y
【小结】若角α终边上的点P(x，y)在单位圆上，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.若点
xy
P(x，y)不在单位圆上，则先求r＝x2＋y2(注意含参数的正负选取)，然后利用sin α＝，cos α
r
xy
＝，tan α＝求解． rx
2π12π3
＝－，y＝sin ＝. 3232
考点2 利用三角函数线解题
例2已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )
A．若α、β是第一象限的角，则cos α>cos β B．若α、β是第二象限的角，则tan α>tan β C．若α、β是第三象限的角，则cos α>cos β D．若α、β是第四象限的角，则tan α>tan β
【解析】画出单位圆及角α，β的正弦线、余弦线、正切线．
由图①知，sin α＝MP>NQ＝sin β，cos α＝OM
【答案】D
【小结】本小题充分利用单位圆中三角函数线表示三角函数值的大小，观察图形得出结论，即用数形结合思想解题．
考点3 弧度制与扇形面积
例3已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r. (1)若α＝120°， r＝6，求扇形的弧长；
(2)若扇形的周长为24，当α为多少弧度时，该扇形面积S最大？并求出最大面积．
π2π
【解析】(1)∵α＝120°＝120×＝， r＝6，
1803
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2π
∴l＝α·r＝×6＝4π.
3
11
(2)设扇形的弧长为l，则l＋2r＝24，即l＝24－2r(0 22 2 (24－2r)·r＝－r＋12r＝－(r－6)＋36，所以当且仅当r＝6时， S有最大值36，此时l＝24 2 l12 －2×6＝12，∴α＝＝＝2. r6 【小结】(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 【能力提升】 例4(1)如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周， ︵ 点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致为( ) 【解析】如图，取AP的中点为D，连接OD.设∠DOA＝θ，则d＝2sin θ，l＝2θ，故dl ＝2sin . 2 【答案】C (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一 → 点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C(2，1)时，OP的坐标为______________． - 5 - / 7- 5 - / 7
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