4．2
考点：正方形的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．专题：证明题．分析：证△COA≌△DOB，推出等腰直角三角形AOB，求出AB= 2 OA，得出要使AB最小，只要OA取最小值即可，当OA⊥CD时，OA最小，求出OA的值即可．
解答：解：∵四边形CDEF是正方形，
∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD， ∵AO⊥OB， ∴∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°， ∴∠COA=∠DOB， ∵在△COA和△DOB中
??OCA= ?ODB? ? OC=OD ， ??AOC= ?DOB?∴△COA≌△DOB， ∴OA=OB， ∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形， 由勾股定理得：AB=
OA2+OB2 =2OA，
要使AB最小，只要OA取最小值即可， 根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小， ∵正方形CDEF， ∴FC⊥CD，OD=OF， ∴CA=DA， ∴OA=
1CF=1， 2即AB=2， 故答案为：2．
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点评：本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，正方形的性质，垂线段最短等知识点的应用，关键是求出AB=2OA和得出OA⊥CD时OA最小，题目具有一定的代表性，有一定的难度．
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2．（2012?青岛）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）若OA=
1BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由． 2
考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
分析：（1）首先根据垂直可得∠BEO=∠DFO=90°，再由点O是EF的中点可得OE=OF，
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再加上对顶角∠DOF=∠BOE，可利用ASA证明△BOE≌△DOF；
（2）首先根据△BOE≌△DOF可得DO=BO，再加上条件AO=CO可得四边形ABCD是平行四边形，再证明DB=AC，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论． 解答：（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC， ∴∠BEO=∠DFO=90°， ∵点O是EF的中点， ∴OE=OF，
又∵∠DOF=∠BOE， ∴△BOE≌△DOF（ASA）；
（2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下： ∵△BOE≌△DOF， ∴OB=OD， 又∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∵OA=
11BD，OA=AC， 22∴BD=AC， ∴?ABCD是矩形．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）．
3．（2012?威海）如图，在?ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（ ）
A．AE=AF B．EF⊥AC C．∠B=60° D．AC是∠EAF的平分线
考点：菱形的判定；平行四边形的性质．分析：根据平行四边形性质推出∠B=∠D，∠DAB=
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∠DCB，AB=CD，AD=BC，求出∠BAE=∠DCF，证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，BE=DF，求出AF=CE，得出四边形AECF是平行四边形，再根据菱形的判定判断即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC， ∵AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线， ∴∠DCF=
11∠DCB，∠BAE=∠BAD， 22∴∠BAE=∠DCF， ∵在△ABE和△CDF中
∠D=∠B AB=CD ∠DCF=∠BAE ， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF，BE=DF， ∵AD=BC， ∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
A、∵四边形AECF是平行四边形，AE=AF， ∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确； B、∵EF⊥AC，四边形AECF是平行四边形， ∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；
C、根据∠B=60°和平行四边形AECF不能推出四边形是菱形，故本选项错误； D、∵四边形AECF是平行四边形， ∴AF∥BC， ∴∠FAC=∠ACE， ∵AC平分∠EAF， ∴∠FAC=∠EAC， ∴∠EAC=∠ECA， ∴AE=EC，
∵四边形AECF是平行四边形， ∴四边形AECF是菱形，故本选项正确；
故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的性质和判
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定、平行线的性质等知识点，主要考查学生的推理能力．
4．（2012?聊城）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD． 求证：四边形OCED是菱形．
考点：菱形的判定；矩形的性质．专题：证明题．
分析：首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论． 解答：证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
点评：此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
5．（2012?济宁）如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC、AB于点E和F．
（1）在图中画出线段DE和DF；
（2）连接EF，则线段AD和EF互相垂直平分，这是为什么？
考点：菱形的判定与性质；作图—复杂作图． 分析：（1）根据题目要求画出线段DE、DF即可；
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中考数学专题特训 矩形_菱形_正方形(含详细参考答案)
