.
2000年华南师大学数学分析
一、填空题（3*10=30分） 1.设an?(?1)?sinnn?,n?1,2,?,则liman?_______,liman?_______；
n??n??4?x, x为有理数2.设f(x)?? x?R,则f(x)在x?____处连续；?x, x为无理数?nx3.limdx?_____;
n???01?x14.lim(sinx?cosx)?_________;
x?01x5.方程x?3x?c?0(c为实常数)在区间[0,1]中至多有_________个根； 6.设In?2dx?(x2?a2)n(n?1,n为自然数)，写出In?1的递推公式In?1?_________________;7.设u(x,y)??sinx?cosy0f(t)dt,f(t)是可微函数，则du?___________;
8.设f(x,y)在P0(2,0)处可微，且在P0处指向P1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P0处指向P2(1,2)的方向导数是_____________;
9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：sinx?________________________; 10.曲线x?acost,y?asint,0?t?2?的弧长s=___________________.
二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，limf(x)存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或
x???332最小值.
三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程x?y?z?yf()所确定，其中f是可微函数，试证：
222zy(x2?y2?z2)
Word 资料
?z?z?2xy?2xz. ?x?y .
四、（12分）求极限：lim(n??12n????).
n2?n?1n2?n?2n2?2n
（a?1）?(b?1)五、（12分）已知a,b为实数，且1 六、(12分)计算曲面积分：I?的外侧. 七、(10分)设un(x)?0,在[a,b]上连续，n=1,2,…, ?lnblna. 22223x?y?z?1其中S是球面xdydz?ydzdx?zdxdy.??S?un?1?n(x)在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证 明： ?un?1n(x)在[a,b]上一致收敛于f(x). Word 资料 . 2003年华南师大学数学分析 一、(12分)求极限lim(n??111????). 1?33?5(2n?1)(2n?1)二、(12分)设D??(x,y):?1?x?1,?1?y?1?,求积分 三、(12分)证明 ??Dy?x2dxdy. nx在[a,b]上一致收敛(其中，0 ?1?nxn?1?nx33在(0,+∞)上连续. 四、(12分)求第二型曲线积分 231322?ydx?xdy，其中，L:x?2y?1，取逆时针方向。 ?L33五、(12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果lim?f(x)和limf(x)都存在(有限)，那 x?ax???么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例。 六、(15分)设 ???af(x,y)dx关于y?[c,d]一致收敛，而且，对于每个固定的y?[c,d]，f(x,y) 关于x在[a,+∞)上单调减少。求证：当x???时，函数xf(x,y)和f(x,y)关于y?[c,d]一致地收敛于0. Word 资料 . 2004年华南师大学数学分析 1.(12分)设an?(1?),n?1,2,?,证明数列?an?严格单调增加且收敛。 n1n 1?2?xsin, x?02.(12分)求函数f(x)??的导函数，并讨论导函数的连续性。 x? x?0?0, [2?(?1)n]n13.(12分)求幂级数?(x?)n的收敛半径和收敛域。 n2n?1? ???x?0?1, 4.(12分)求函数f(x)??的Fourier级数，并由此求数列级数： 0, 0?x???1111?????(?1)n??的和。 352n?1 5.(12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导(0 6.(15分)Br(M0)是以M0?(x0,y0,z0)为心，r为半径的球，?Br(M0)是以M0为心，r为半径的球面，f(x,y,z)在R上连续，证明： 3 f?(?)(b?a)。 lnb?lnadf(x,y,z)dxdydz???f(x,y,z)dS ???drBr(M0)?Br(M0) Word 资料 . 2005年华南师大学数学分析 一、计算题（4*8=32分） 1.求limcos(sinx)?cosx. x?0sin3x2.求?sec3xdx. x2y23.求lim. (x,y)?(0,0)x2?y24.求? 二、证明题（3*9=27分） 1.证明：对?a,b?R,ea?b2xdy?ydx222L：x?(y?1)?R,0?R?1,取逆时针方向。 .其中 L4x2?y2?1a(e?eb)； 22.设liman?0，证明：limn??a1?a2???an?0； n??n 3.设f(x)在(0,1)上连续，lim?f(x)?lim?f(x)???，证明:f(x)在(0,1)取到最大值. x?0x?1 Word 资料
华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题汇总
