函数知识点总结与经典例题与解析

由天下分享时间：2024/12/26 7:24:52 加入收藏我要投稿点赞

函数知识点总结与经典例题与解析

函数知识点总结

知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴与y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意:x轴与y轴上的点,不属于任何象限。 2、点的坐标的概念

点的坐标用(a,b)表示,其顺序就是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标就是有序实数对,当a?b时,(a,b)与(b,a)就是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征

点P(x,y)在第一象限?x?0,y?0

点P(x,y)在第二象限?x?0,y?0 点P(x,y)在第三象限?x?0,y?0 点P(x,y)在第四象限?x?0,y?0 2、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上?y?0,x为任意实数点P(x,y)在y轴上?x?0,y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上?x,y同时为零,即点P坐标为(0,0) 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x与y互为相反数 4、与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

点P与点p’关于x轴对称?横坐标相等,纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称?纵坐标相等,横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数

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6、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:

(1)点P(x,y)到x轴的距离等于y (2)点P(x,y)到y轴的距离等于x

22x?y(3)点P(x,y)到原点的距离等于

知识点三、函数及其相关概念

1、变量与常量

在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。

一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x就是自变量,y就是x的函数。 2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点

(1)解析法

两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。

(2)列表法

把自变量x的一系列值与函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。

(3)图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤

(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值

(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点

(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。知识点四、正比例函数与一次函数 1、正比例函数与一次函数的概念

一般地,如果y?kx?b(k,b就是常数,k?0),那么y叫做x的一次函数。特别地,当一次函数y?kx?b中的b为0时,y?kx(k为常数,k?0)。这时,y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像所有一次函数的图像都就是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:

一次函数y?kx?b的图像就是经过点(0,b)的直线;正比例函数y?kx的图像就是经过原点(0,0)的直线。 k的b的函数图像符号符号图像特征函数知识点总结与经典例题与解析

y 0 x b>0 图像经过一、二、三象限, y随x的增大而增大。 k>0 y 0 x b<0 图像经过一、三、四象限, y随x的增大而增大。 y 0 x b>0 图像经过一、二、四象限, y随x的增大而减小 k<0 k<0 y 0 x b<0 图像经过二、三、四象限, y随x的增大而减小。注:当b=0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数就是一次函数的特例。 4、正比例函数的性质一般地,正比例函数y?kx有下列性质:

(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大,图像从左之右上升;

(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小,图像从左之右下降。

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5、一次函数的性质

一般地,一次函数y?kx?b有下列性质: (1)当k>0时,y随x的增大而增大 (2)当k<0时,y随x的增大而减小

(3)当b>0时,直线与y轴交点在y轴正半轴上 (4)当b<0时,直线与y轴交点在y轴负半轴上 6、正比例函数与一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数,就就是要确定正比例函数定义式y?kx(k?0)中的常数k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y?kx?b(k?0)中的常数k与b。解这类问题的一般方法就是待定系数法知识点五、反比例函数 1、反比例函数的概念

k一般地,函数y?(k就是常数,k?0)叫做反比例函数。反比例函数的解析

x式也可以写成y?kx?1或xy=k的形式。自变量x的取值范围就是x?0的一切实数,函数的取值范围也就是一切非零实数。 2、反比例函数的图像

反比例函数的图像就是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x?0,函数y?0,所以,它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。 3、反比例函数的性质反比例函数 k的符号 k>0 y O x 图像 y?k(k?0) xk<0 y O x 函数知识点总结与经典例题与解析

①x的取值范围就是x?0, ①x的取值范围就是x?0, y的取值范围就是y?0; y的取值范围就是y?0; ②当k>0时,函数图像的两个分支②当k<0时,函数图像的两个分支分别分别在第二、四象限。在每个象限内,y 性质在第一、三象限。在每个象限随x 的增大而增大。内,y 随x 的增大而减小。 4、反比例函数解析式的确定 k中,只有一个x待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

k若过反比例函数y?(k?0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM,PN,则

xk所得的矩形PMON的面积S=PM?PN=y?x?xy。 ?y?,?xy?k,S?k。

x知识点六、二次函数的概念与图像 1、二次函数的概念

确定解析式的方法仍就是待定系数法。由于在反比例函数y?一般地,如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0),特别注意a不为零,那么y叫做x 的二次函数。

y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

b对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 2a抛物线的主要特征(也叫抛物线的三要素): ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法

五点法:

(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴

二次函数的图像就是一条关于x??(2)求抛物线y?ax2?bx?c与坐标轴的交点:

当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。