高中数学易错题举例解析

高中数学易错题举例解

析

Revised by Petrel at 2024

高中数学易错题举例解析

高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。

● 忽视等价性变形，导致错误。

?? x>0?

? y>0?

?? x + y>0

?

? xy>0?

?? x>1

，但 ?

? y>2?

?? x + y>3

与 ?

? xy>2?

不等价。

【例1】已知f(x) = ax + ，若?3?f(1)?0,3?f(2)?6,求f(3)的范围。

①??3?a?b?0?错误解法 由条件得? b3?2a??6?②2?xb②×2－① 6?a?15 ③ ①×2－②得 ?8b2??? ④ 33310b431043③+④得 ?3a??,即?f(3)?.

33333错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数

f(x)?ax?x，其值是同时受a和b制约的。当a取最大（小）值时，b不一定取最大b（小）值，因而整个解题思路是错误的。

?f(1)?a?b?正确解法 由题意有?b, 解得：

f(2)?2a??2??f(3)?3a?b165?f(2)?f(1). 把f(1)和f(2)的范围代入得 399在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。

●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】

(1) 设?、?是方程x2?2kx?k?6?0的两个实根，则(??1)2?(??1)2的最小值是

(A)?494(B)8(C)18(D)不存在

思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：????2k,???k?6, 有的学生一看到?49，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反4思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。

? 原方程有两个实根?、?，∴??4k2?4(k?6)?0 k??2或k?3.

当k?3时，(??1)2?(??1)2的最小值是8； 当k??2时，(??1)2?(??1)2的最小值是18。 这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。 (2) 已知(x+2)+ =1, 求x2+y2的取值范围。

4

2

y2

828错解 由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+ ，

3382828

∴当x=－ 时，x2+y2有最大值 ，即x2+y2的取值范围是(－∞, ]。

333分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。 事实上，由于(x+2)+ =1 (x+2)=1－ ≤1 －3≤x≤－1，

44从而当x=－1时x+y有最小值1。∴

2

22

y2

2

y2

28

x+y的取值范围是[1, ]。

3

2

2

注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。