数学
二
圆锥曲线的参数方程 1．椭圆的参数方程
[对应学生用书P22] 椭圆的参数方程
?x＝acos φx2y2
(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆a2＋b2＝1的参数方程是?(φ
y＝bsin φ?是参数)，规定参数φ的取值范围是[0,2π)．
?x－h?2?y－k?2
(2)中心在(h，k)的椭圆普通方程为a2＋b2＝1，则其参数方程为?x＝h＋acos φ?(φ是参数)． ?y＝k＋bsin φ
[对应学生用书P22]
椭圆的参数方程的应用：求最值
x2y2
[例1] 已知实数x，y满足＋＝1，
2516求目标函数z＝x－2y的最大值与最小值．
[思路点拨] 将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化成三角函数求最值问题．
数学
??x＝5cos φ，x2y2
[解] 椭圆25＋16＝1的参数方程为?
??y＝4sin φ(φ为参数)． 代入目标函数得 z＝5cos φ－8sin φ＝
52＋82cos(φ＋φ0)
8
＝89cos(φ＋φ0)(tan φ0＝5)．
所以目标函数zmin＝－89，zmax＝89. 利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．
x2y2
1．已知椭圆25＋16＝1，点A的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点P，使点P与点A的距离最大．
??x＝5cos θ
解：椭圆的参数方程为?(θ为参数)．
??y＝4sin θ设P(5cos θ，4sin θ)，则 |PA|＝＝?5cos θ－3?2＋?4sin θ?2＝
9cos2θ－30cos θ＋25
?3cos θ－5?2＝|3cos θ－5|≤8，
当cos θ＝－1时，|PA|最大．
此时，sin θ＝0，点P的坐标为(－5,0).
椭圆参数方程的应用：求轨迹方程 数学
x2y2
[例2] 已知A，B分别是椭圆36＋9＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．
[思路点拨] 由条件可知，A，B两点坐标已知，点C在椭圆上，故可设出点P坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解．
[解] 由题意知A(6,0)、B(0,3)．由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得
?
?0＋3＋3sin θ?y＝3，
6＋0＋6cos θx＝，
3
??x＝2＋2cos θ，即? ??y＝1＋sin θ.
?x－2?2
消去参数θ得到4＋(y－1)2＝1.
本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
x2y2
2．已知椭圆方程是16＋9＝1，点A(6,6)，P是椭圆上一动点，求线段PA中点Q的轨迹方程．
解：设P(4cos θ，3sin θ)，Q(x，y)，则有
?x＝4cos 2θ＋6，?3sin θ＋6?y＝2，
?x＝2cos θ＋3，即?3
?y＝2sin θ＋3.
(θ为参数)
∴9(x－3)2＋16(y－3)2＝36，即为所求．
高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲二1.椭圆的参数方程-含答案
