第四讲 二项式分布
【套路秘籍】---千里之行始于足下 一．条件概率及其性质 (1)条件概率的定义
对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率．
(2)条件概率的求法
求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概率公式，即P(B|A)＝
PAB. PA二．二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cnp(1－p)
kkn－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)．
【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始 考向一 条件概率
【例1】已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为________． 7【答案】 9
【解析】 方法一 设事件A为“第1次取到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次取到的是卡口灯泡”， 7
3073377PAB则P(A)＝，P(AB)＝×＝，则所求概率为P(B|A)＝＝＝.
1010930PA39
10
1
C7
方法二 第1次取到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次取到卡口灯泡的概率为1
C97＝. 9
1
【套路总结】 条件概率求解方法 1.利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝P?AB?，这是通用的求条件概率的方法． P?A?2.借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含n?AB?【举一反三】
1．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．
4 99
【答案】
【解析】 方法一 (应用条件概率公式求解)设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P(B|A)，
1
4954C1C1PAB因为P(AB)＝2＝，P(A)＝1＝，所以P(B|A)＝＝＝.
C100495C10020PA199
20
25
15
方法二 (缩小样本空间求解)第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有44
件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为. 99
2. 某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 0.851 2 1.253 4 1.75≥5 保费 a a a 1.5a a 2a
2
设该险种续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 概率
(1)求续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)若续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
3
. （3）1.23. 11
0 1 2 3 4 ≥5 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 【答案】（1）0.55 （2）
【解析】(1)设A表示事件“续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.
(2)设B表示事件“续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.
又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝
PABPB0.1533
＝＝＝.因此所求概率为. PAPA0.551111
(3)平均保费E(A)＝0.85a×0.3＋0.15a＋1.25a×0.2＋1.5a×0.2＋1.75a×0.1＋2a×0.05＝1.23a， 1.23a因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为＝1.23
a考向二 二项分布
【例2】为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人．
(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；
(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的概率分布．
3
25
【答案】（1） （2）见解析
52
【解析】 (1)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C40，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为C15C25，所以所求C15C2515×2525
的概率P(A)＝2＝＝.
C4020×3952
40
(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的概率为
100227?2?0?2?0?3?3
＝，故X～B?3，?.所以P(X＝0)＝C3????＝， 5?5??5??5?125
222330P(X＝1)＝C1， P(X＝2)＝C3????＝，P(X＝3)＝C3????＝. 3????＝
?5??5?125?5??5?125?5??5?125
1
1
1
12
?2??3?
54
?2??3?36
?2??3?
8
所以X的概率分布为
X P 0 27 1251 54 1252 36 1253 8 125
【套路总结】 一．二项分布的判断与应用 1.某一事是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条，随机变量就不服从二项分布
【举一反三】
1．某兴趣小组在科学馆的帕斯卡三角仪器前进行探究实验.如图所示，每次使一个实心小球从帕斯卡三角
4
仪器的顶部入口落下，当它在依次碰到每层的菱形挡板时，会等可能地向左或者向右落下，在最底层的7个出口处各放置一个容器接住小球，该小组连续进行200次试验，并统计容器中的小球个数得到柱状图：
（Ⅰ）用该实验来估测小球落入4号容器的概率，若估测结果的误差小于该兴趣小组进行的实验是否成功？（误差
）
，则称该实验是成功的.试问：
（Ⅱ）再取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，求的分布列与数学期望.（计算时采用概率的理论值）
【答案】（Ⅰ）是成功的；（Ⅱ）详见解析.
【解析】（Ⅰ）小球落入4号容器的概率的理论值为.
小球落入4号容器的概率的估测值为.
误差为，故该实验是成功的.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，每个小球落入4号容器的概率为，未落入4号容器的概率为.，
，
，
，
5
2024年高考数学一轮复习专题7.4二项分布练习(含解析)
