平面向量的线性运算及其坐标表示知识点及题型归纳总结
知识点精讲
一、向量的基本概念 向量概念
rrr既有大小又有方向的量叫向量，一般用a，b，c来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，uuur如AB（其中A为起点，B为终点）.
注：谈到向量必须说明其方向与大小.
ruuur
向量的大小，有就是向量的长度（或称模），记作a或AB.
2.零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量
r零向量：长度为零的向量，记为0，其方向是不确定的.
rrar单位向量：模为1个单位长度的向量.当a?0时，向量?r是与向量a共线（平行）的单位向量.
arr相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为a?b.
平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上.
rrr规定零向量与任何向量a平行（共线），即0//a.
注：①数学中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共线，可以重合，而几何中
rrrrrrrr平行不可以重合；③a//b，b//c ，不一定有a//c，因为b可能为0.
向量的线性运算 向量的加法
uuurruuurrrr求两个向量和的运算叫做向量的加法，已知向量a，b，在平面内任取一点A，作AB?a，BC?b，则
uuurruuuruuurrruuurr向量AC叫做向量a与b的和（或和向量），即a?b?AB?BC?AC.
uuurrr 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图5-1所示，向量AC=a?b.
rrrr注：①若a，b为不共线向量，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当a，b共线时，则只能用
三角形法则求和向量，向量加法的本质是首尾相接.
②三角形法则可推广至若干向量的和.如图5-2所示.
a2 a1 a5 5-2 图a3 a4 2．向量的减法 （1）相反向量.
与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a. ①规定：零向量的相反向量仍为零向量；
rrrrrrrr②-（-a）=a,a+(-a)=0;
rrrrrrrrr③若a，b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.
（2）向量的减法.
rrrrrrrr向量a与b的相反向量的和叫做向量a与b的差或差向量，即a-b=a+（-b）.
uuurruuurruuurrr向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图5-3所示，OA?a，OB?b则向量BA?a?b.
注：向量加法的三角形法则是两向量首尾相连，和向量是以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点；向量减法的三角形法则是将两个向量的起点移到一起，差向量是连接两向量的终点，箭头指向被减向量的终点的向量. 3.向量的数乘
（1）实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：?a ，它的长度和方向规定如下：
①?a??a ②当λ>0时，?a的方向与a的方向相同；当λ<0时，?a的方向与a的方向相反；当??0时，?a?0方向不确定；a?0时，?a?0方向不确定. （2）向量数乘运算的运算律.
b为任意向量，设a、则 ?(?a)?(??)a；?、?为任意实数，(???)a??a??a；?(a?b)??a??b.
三、平面向量基本定理和性质 共线向量基本定理
rrrrrrrrrr如果a??b(??R)，则a//b；反之，如果a//b且b?0，则一定存在唯一的实数?，使a??b.（口
诀：数乘即得平行，平行必有数乘）. 平面向量基本定理
uruurr如果e1和e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a，都存在唯一的一对实数
uruururuurr?1,?2，使得a??1e1??2e2，我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为uruururuururuurre1,e2.?1e1??2e2叫做向量a关于基底e1,e2的分解式.
????uruurr注：由平面向量基本定理可知：只要向量e1与e2不共线，平面内的任一向量a都可以分解成形如
uruururuururuurr并且这样的分解是唯一的. ?1e1??2e2叫做e1，e2的一个线性组合.平面向量基本a??1e1??2e2的形式，
定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
uruururuurr推论1：若a??1e1??2e2??3e1??4e2，则?1??3,?2??4.
uruurrr推论2：若a??1e1??2e2?0，则?1??2?0.
A B D 图5-4 C 线段定比分点的向量表达式
uuuruuuruuuruuuruuurAB??AC如图5-4所示，在△ABC中，若点D是边BC上的点，且BD??DC（???1），则向量AD?.
1??在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握. 三点共线定理
uuuruuuruuur平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数?,?，使OC??OA??OB,其中????1，O为平
面内一点.
此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.
A B D 图5-5 C
A、B、C三点共线
uuuruuur?存在唯一的实数?，使得AC??AB;
uuuruuuruuur?存在唯一的实数?，使得OC?OA??AB;
uuuruuuruuur?存在唯一的实数?，使得OC?(1??)OA??OB;
uuuruuuruuur?存在????1,使得OC??OA??OB.
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