1988年全国高中数学联赛试题
第一试(10月16日上午8∶00——9∶30)
一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：
1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( )
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A．y=－φ(x) B．y=－φ(－x) C．y=－φ1(x) D．y=－φ1(－x) 2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是( ) A．|k|>1 B．|k|≠1 C．－1 M={(x，y)| |x|+|y|<1}， N={(x，y)| 11(x－)2+(y+)2+ 22 11(x+)2+(y－)2<22}， 22 P={(x，y)| |x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．则 A．M??P??N B．M??N??P C．P??N??M D．A、B、C都不成立 4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有 π 命题甲：θ>； 3 命题乙：a、b、c相交于一点． 则 A．甲是乙的充分条件但不必要 B．甲是乙的必要条件但不充分 C．甲是乙的充分必要条件 D．A、B、C都不对 5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M∪N∪P=I； ⑵ N≠?． ⑶ M≠?． ⑷ P≠?中，正确的表达式的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)： b4－b31．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么= ． a2－a12．(x+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为 ． DE 3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则= ． BC 4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ． 三．(15分)长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积． 四．(15分) 复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1－Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z0≠0，另一个动点Z满足Z1Z=－1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置． 11 五．(15分)已知a、b为正实数，且+=1，试证：对每一个n∈N*， ab (a+b)n－an－bn≥22n－2n+1． 1988年全国高中数学联赛二试题 一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2， ?5an+1－3an(an·an+1为偶数)，an+2=? an+1为奇数)．?an+1－an(an· 试证：对一切n∈N*，an≠0． S?PQR2 二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：>． S?ABC9 APHNQBRC 三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，……，ln，…的直线族，它满足条件： ⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)； ⑵ kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)； ⑶ knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)． 并证明你的结论． 1988年全国高中数学联赛解答 一试题 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( ) －－ A．y=－φ(x) B．y=－φ(－x) C．y=－φ1(x) D．y=－φ1(－x) －－ 解：第二个函数是y=φ1(x)．第三个函数是－x=φ1(－y)，即y=－φ(－x)．选B． 2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是( ) A．|k|>1 B．|k|≠1 C．－1 M={(x，y)| |x|+|y|<1}， N={(x，y)| 11(x－)2+(y+)2+ 22 11(x+)2+(y－)2<22}， 22 P={(x，y)| |x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．则 A．M??P??N B．M??N??P C．P??N??M D．A、B、C都不成立 解：M表示以(1，0)，(0．1)，(－1，0)，(0，－1)为顶点的正方形内部的点的集合(不包括边界)；N表1111 示焦点为(，－)，(－，)，长轴为22的椭圆内部的点的集合，P表示由x+y=±1，x=±1，y=±1围成 2222的六边形内部的点的集合．故选A． 4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有 π 命题甲：θ>； 3 命题乙：a、b、c相交于一点． 则 A．甲是乙的充分条件但不必要 B．甲是乙的必要条件但不充分 C．甲是乙的充分必要条件 D．A、B、C都不对 ππ 解：a，b，c或平行，或交于一点．但当a∥b∥c时，θ=．当它们交于一点时，<θ<π．选C． 335．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过 1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M∪N∪P=I； ⑵ N≠?． ⑶ M≠?． ⑷ P≠?中，正确的表达式的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 解：均正确，选D． 二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)： b4－b3 1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么= ． a2－a1b4－b3812 解：a2－a1=(y－x)，b4－b3=(y－x)，?=． 43a2－a13 2．(x+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为 ． 解：(x+2)2n+1－(x－2)2n+1=2(C2n+12xn+C2n+123xn1+C2n+125xn2+…+C2n+122n+1)． － － 1352n+1 1 令x=1，得所求系数和=(32n+1+1)． 2
历年全国高中数学联赛试题及答案(76套题)
