高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题
第1课时 范围、最值问题
题型一 范围问题
x2y2113e
例1 (2016·天津)设椭圆2＋＝1(a>3)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其
a3|OF||OA||FA|中O为原点，e为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围． 113e
解 (1)设F(c,0)，由＋＝，
|OF||OA||FA|113c即＋＝，可得a2－c2＝3c2. caa?a－c?又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4. x2y2
所以椭圆的方程为＋＝1.
43(2)设直线l的斜率为k(k≠0)， 则直线l的方程为y＝k(x－2)．
22xy??4＋3＝1，
设B(xB，yB)，由方程组?
??y＝k?x－2?
消去y，
整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0. 8k2－6
解得x＝2或x＝2. 4k＋3
8k2－6－12k
由题意得xB＝2，从而yB＝2.
4k＋34k＋3由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，
12k?→→?9－4k
有FH＝(－1，yH)，BF＝?2，2?.
?4k＋34k＋3?
2
→→
由BF⊥HF，得BF·FH＝0，
4k2－912kyH9－4k2所以2＋2＝0，解得yH＝.
12k4k＋34k＋3
2
19－4k
因此直线MH的方程为y＝－x＋. k12k
设M(xM，yM
?y＝k?x－2?，
)，由方程组?19－4k
?y＝－kx＋12k，2
消去y，解得xM＝. 12?k2＋1?
在△MAO中，由∠MOA≤∠MAO，得|MA|≤|MO|，
22
即(xM－2)2＋y2M≤xM＋yM，
20k2＋9
化简，得xM≥1，即
≥1，
12?k2＋1?
20k2＋9
解得k≤－
66或k≥. 44
所以直线l的斜率的取值范围为?－∞，－
?
6??6?∪，＋∞.
4??4?
思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
跟踪训练1 (2024·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
y2
(2)若P是半椭圆x＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
4
2
121?y1，y1?，B?y2(1)证明 设P(x0，y0)，A??4??42，y2?. 因为PA，PB的中点在抛物线上， 12
y＋x04?y＋y0?2
所以y1，y2为方程??＝4·2，
?2?即y2－2y0y＋8x0－y20＝0的两个不同的实根． 所以y1＋y2＝2y0， 所以PM垂直于y轴．
??y1＋y2＝2y0，(2)解 由(1)可知?
2
??y1y2＝8x0－y0，
1322
所以|PM|＝(y2＋y)－x＝y－3x0， 0
81240|y1－y2|＝2
2?y20－4x0?.
所以△PAB的面积
3221
y0?4x0S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝
24??32.
因为
22y0x0＋＝1(－1≤x0<0)，
4
2
所以y20－4x0＝－4x0－4x0＋4∈[4,5]，
1510?所以△PAB面积的取值范围是?62，.
4??
题型二 最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是( )
A．2 B.2 C．4 D．22 答案 C
解析 设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝
24
×＝2≥4.
1－cos θ1＋cos θsinθ
2
2
，|BF|＝，
1－cos θ1＋cos θ
2
则|AF|·|BF|＝
命题点2 数形结合利用几何性质求最值
例3 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________． 答案
2
2
解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线间的距离d＝
|1－0|
＝2
.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得2
12＋?－1?2
c≤22，故c的最大值为. 22
命题点3 转化为函数利用均值不等式或二次函数求最值
x2y2例4 (2024·大连模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为
ab3b. 3
(1)求椭圆C的离心率； (2)若点M?3，
?
3?在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线2?OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值． 解 (1)由题意，得a－c＝
31
b，则(a－c)2＝b2， 33
1
结合b2＝a2－c2，得(a－c)2＝(a2－c2)，
3即2c2－3ac＋a2＝0，亦即2e2－3e＋1＝0， 1
结合0 1 所以椭圆C的离心率为. 2(2)由(1)得a＝2c，则b2＝3c2. x2y23??将M3，代入椭圆方程2＋2＝1，解得c＝1. 4c3c2??x2y2 所以椭圆方程为＋＝1. 431 易得直线OM的方程为y＝x. 2 1 当直线l的斜率不存在时，线段AB的中点不在直线y＝x上，故直线l的斜率存在． 2x2y2 设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，与＋＝1联立消y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 43由题意得Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝48(3＋4k2－m2)>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 4m2－12 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 3＋4k23＋4k2 8km 因为y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝ ， 3＋4k26m ?－4km，3m? 所以线段AB的中点N的坐标为?22?， ?3＋4k3＋4k? 1 因为点N在直线y＝x上， 24km3m 所以－＝2×， 22 3＋4k3＋4k3解得k＝－. 2 所以Δ＝48(12－m2)>0，解得－23 3－?2|x2－x1| 1＋??2?13 ·?x1＋x2?2－4x1x2 2 24m－12392 m－＝36 13＝·2 12－m2. 又原点O到直线l的距离d＝ 2|m| ， 13
2024届高考数学(理)一轮复习讲义 高考专题突破5 高考中的圆锥曲线问题 第1课时 范围、最值问题
