附录1 习题参考答案
第一章 习 题 一
1. (ⅰ) 由a?b知b = aq，于是b = (?a)(?q)，?b = a(?q)及 ?b = (?a)q，即?a?b，a??b及?a??b。反之，由 ?a?b，a??b及 ?a??b也可得a?b； (ⅱ) 由a?b，b?c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a?c； (ⅲ) 由b?ai知ai = bqi，于是a1x1 ? a2x2 ? ? ? akxk = b(q1x1 ? q2x2 ? ? ? qkxk)，即b?a1x1 ? a2x2 ? ? ? akxk；(ⅳ) 由b?a知a = bq，于是ac = bcq，即bc?ac； (ⅴ) 由b?a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a ? 0得|q| ? 1，从而|a| ? |b|，后半结论由前半结论可得。
2. 由恒等式mq ? np = (mn ? pq) ? (m ? p)(n ? q)及条件m ? p?mn ? pq可知m ? p?mq ? np。
3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a ? 1, ?, a ? 9, a ? 19的数字和为s, s ? 1, ?, s ? 9, s ? 10，其中必有一个能被11整除。
4. 设不然，n1 = n2n3，n2 ? p，n3 ? p，于是n = pn2n3 ? p3，即p ?3n，矛盾。
5. 存在无穷多个正整数k，使得2k ? 1是合数，对于这样的k，(k ? 1)2不能表示为a2 ? p的形式，事实上，若(k ? 1)2 = a2 ? p，则(k ? 1 ? a)( k ? 1 ? a) = p，得k ? 1 ? a = 1，k ? 1 ? a = p，即p = 2k ? 1，此与p为素数矛盾。
第一章 习 题 二
1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。
2. 写a = 3q1 ? r1，b = 3q2 ? r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3?a2 ? b2 = 3Q ? r12 ? r22
知r1 = r2 = 0，即3?a且3?b。
3. 记 n=10q+r, (r=0,1,…,9)，则nk+4- nk被10除的余数和rk+4- rk = rk( r4-1)被10 除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。
4. 对于任何整数n，m，等式n2 ? (n ? 1)2 = m2 ? 2的左边被4除的余数为1，
而右边被4除的余数为2或3，故它不可能成立。
5 因a4 ? 3a2 ? 9 = (a2 ? 3a ? 3)( a2 ? 3a ? 3)，当a = 1，2时，a2 ? 3a ? 3 = 1，a4 ? 3a2 ? 9 = a2 ? 3a ? 3 = 7，13，a4 ? 3a2 ? 9是素数；当a ? 3时，a2 ? 3a ? 3 > 1，a2 ? 3a ? 3 > 1，a4 ? 3a2 ? 9是合数。
6. 设给定的n个整数为a1, a2, ?, an，作
s1 = a1，s2 = a1 ? a2，?，sn = a1 ? a2 ? ? ? an，
如果si中有一个被n整除，则结论已真，否则存在si，sj，i < j，使得si与sj被n除的余数相等，于是n?sj ? si = ai + 1 ? ? ? aj 。
第一章 习 题 三
1. (ⅰ) 因为d?a和d?|a| 是等价的，所以a1, a2, ?, ak的公约数的集合与|a1|, |a2|, ?,|ak| 的公约数的集合相同，所以它们的最大公约数相等； (ⅱ)，(ⅲ) 显然； (ⅳ) 设(p, a) = d，则d?p，d?a，由d?p得d = 1或d = p，前者推出(p, a) = 1，后者推出p?a。
2. (ⅰ) 由d?ai推出d?y0 = (a1, a2, ?, ak)； (ⅱ) 分别以y0和Y0表示集合A = { y；y =?aixi，xi?Z，? ? i ? k }和A* = { y；y =?maixi，xi?Z，? ? i ? k }
i?1i?1kk中的最小正整数，显然有Y0 = |m|y0； (ⅲ) 在推论2中取m = ?，并用代替a1, a2, ?, ak即可。
a1a2a,,?,k???|a，则(p, a) = 1，从而由p?ab推出p?b； (ⅱ) 在(ⅰ)中取a 3. (ⅰ) 若p?= b可得； (ⅲ) (a, b1b2?bn) = (a, b2?bn) = ? = (a, bn) = 1。
4. 由恒等式9(2x ? 3y) ? 2(9x ? 5y) = 17y及17?2x ? 3y得17?2(9x ? 5y)，又
(17, 2) = 1，故17?9x ? 5y。
5. 设(a, b) = d，则a = da1，b = db1，(a1, b1) = 1，由a2?b2c得a12?b12c，a12?c，因为c无平方因子，所以a1 = 1，a = d，b = ab1，即a?b。
32n?1132n?1?22n?1知d?22n?1，设6. 设(C12n,C2n,?,C2n)?d，由C2n?C2n???C2nk?1|Ci2n?2k|n并且2k+1不整除n，由2k +1||C12n及22ni?1C2n?1，i = 3, 5, ?, 2n ? 1，得id = 2k + 1。
第一章 习 题 四
1. (ⅰ)，(ⅱ) 显然； (ⅲ) 设m1 = [a1, a2, ?, ak]，m2 = [ |a1|, |a2|, ?, |ak| ]，则由ai?m1推出|aI|?m1，即m2?m1，同理可得m1?m2，故m1 = m2； (ⅳ) 显然a?|b|，b?|b|，又若a?m?，b?m?，m? > 0，则|b| ? m?，故有[a, b] = |b|。
2. 设m是a1, a2, ?, an的任一个公倍数，由a1?m，a2?m知[a1, a2] = m2?m，由m2?m，a3?m知[m2, a3] = m3?m，?，由mn ? 1?m，an?m知[mn ? 1, an] = mn?m，即[a1, a2, ?, an]?m。
3. 只须证(a?b)abb(a?b)?a，即只须证(b, a ? b) = (a, b)，此式显然。 (a,b)(b,a?b)4. 由a ? b = 120及ab = (a, b)[a, b] = 24 ? 144 = 3456解得a = 48，b = 72或
a = 72，b = 48。
a2b2c2a2b2c25. 因为[a,b,c]?，故只须证，[a,b][b,c][c,a]?(a,b)(b,c)(c,a)(ab,bc,ca)2明(a, b, c)(ab, bc, ca) = (a, b)(b, c) (c, a)，此式用类似于例3的方法即可得证。 6. 设s = 1k ? 2k ? ? ? 9k，则由2s = (1k ? 9k) ? (2k ? 8k) ? ? ? (9k ? 1k) = 10q1
2及2s = (0k ? 9k) ? (1k ? 8k) ? ? ? (9k ? 0k) = 9q2得10?2s和9?2s，于是有90?2s，从而1 ? 2 ? ? ? 9 = 45?s 。
第一章 习 题 五
1. (ⅰ) a?b知b = ab1，由性质(ma, mb) = |m|(a, b)得(a, b) = (a, ab1) = a(1, b1) = a； (ⅱ) 由性质(ma, mb) = |m|(a, b)得(a, b) = (2?a1, 2?b1) = 2? (2? ? ?a1, b1)； (ⅲ)
?由性质(a, b) = 1 ? (a, bc) = (a, c)得(a, b) = (a, 2b1) = (a, b1)； (ⅳ) 由性质(a, b)
a?b|, b)。 = (|a ? b|, b)及(a, b) = 1 ? (a, bc) = (a, c)得(a, b) = (|22. 作辗转相除：1387 = (?162)?(?8) ? 91，?162 = 91?(?2) ? 20，91 = 20?4 ? 11，20 = 11?1 ? 9，11 = 9?1 ? 2，9 = 2?4 ? 1，2 = 1?2 ? 0，由此得n = 6，q1 = ?8，q2 = ?2，
n?1n
q3 = 4，q4 = 1，q5 = 1，q6 = 4，x = (?1)Qn = 73，y = (?1)Pn = 625，又(1387, 162) = rn = 1，故1387?73 ? 162?625 = 1 = (1387, 162)。
3. (27090, 21672, 11352) = (4386, 10320, 11352) = (4386, 1548, 2580)
= (1290, 1548, 1032) = (258, 516, 1032) = (258, 0, 0) = 258。 4. (Fn + 1, Fn) = (Fn ? Fn ? 1, Fn) = (Fn ? 1, Fn) = ? = (F1, F2) = 1。
5. 设除数为d，余数为r，则由
d?4582 ? 2836 = 1746，d?5164 ? 4582 = 582，d?6522 ? 5164 = 1358
知d?(1746, 582, 1358) = 194，由此得d = 97，r = 23或d = 194，r = 120。
6. 作辗转相除：
a = bq1 ? r1， 0 < r1 < |b|， b = r1q2 ? r2， 0 < r2 < r1，
? ?
rn ? 2 = rn ? 1qn ? rn，0 < rn < rn ? 1， rn ? 1 = rnqn ? 1 ? rn ? 1，rn ? 1 = 0。
由第一式得
2a ? 1 =2bq1?r1?2r1?2r1?1?2r1[(2b)q1?1]?(2r1?1)?(2b?1)Q1?(2r1?1)， 即Ma?MbQ1?Mr1，(Ma,Mb)?(Mb,Mr1)。类似可得(Mb,Mr1)?(Mr1,Mr2)等，于是(Ma,Mb)?(Mb,Mr1)???(Mrn,Mrn?1)?Mrn?M(a,b)。
第一章 习 题 六
?k?1?21. (ⅰ) 显然d =p1（0 ? ?i ? ? i，1 ? i ? k）是n的正因数。反之，p2?pk设d为n的任一个正因数，由d?n知对每一个pi，d的标准分解式中pi的指数都
?k?1?2不超过n的标准分解式中pi的指数，即d必可表示成p1（0 ? ?i ? ? i，1 p2?pk? i ? k）的形式； (ⅱ) 类似于(ⅰ)可证得。
?k?k?1?12. (ⅰ) 显然对于?i = min{?i, ?i}，1 ? i ? k，p1?pk|a，p1?pk|b，
而且若d ??a，d ??b，则d ?的标准分解式中pi的指数同时不超过a和b的标准分解
?k?k?1?1式中pi的指数，即d ??p1，这就证明了(a, b) =p1，?i = min{?i, ?i}，?pk?pk1 ? i ? k； (ⅱ) 类似于(ⅰ)即可证得。
3. 22345680 = 24?3?5?7?47?283。
|?i，i = 1, 2, ?, 2n，则?i为1, 2, ?, 2n中的奇数，即?i4. 写i =2?i?i，2?只能取n个数值，在n ? 1个这样的数中，必存在?i = ?j（i ? j），于是易知i与j
成倍数关系。
|?i，i = 1, 2, ?, n，令? = max{?1, ?2, ?,?n} = ?k，显然? 5. 写i =2?i?i，2?? 1，且由第一节例5知使? = ?k的k（1 ? k ? n）是唯一的，取T = 2? ? 1?1?2??n，
T2??1?1?2??nT2??1?1?2??n若S是整数，则ST =T????项外都???中除2n2?k?k2?k?k
是整数，矛盾。
?k?1?2?1?2k6. 设a?p1p2?p?k，b?p1p2?pk，令
??，?k?1?2a2?p1p2?pk，?i??i?0，??，?k?1?2b2?p1p2?pk，?i??i?0，?i?max{?i,?i}，其它，当?i?max{?i,?i}??i，其它，a1?a，a2 bb1?，b2则a1，a2，b1，b2使得a = a1a2，b = b1b2，(a2, b2) = 1，并且[a, b] = a2b2。
第一章 习 题 七
1. (ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ) 显然； (ⅳ) 由[x ? y] = [[x] ? {x} ? [y] ? {y}] = [x] ? [y] ? [{x} ? {y}]即可证得； (ⅴ) 由[?x] =[?([x] ? {x})] = ?[x] ? [?{x}]即可证得； (ⅵ) 由{?x} = {?([x] ? {x})} = {?{x}}即可证得。
123471234712347]?[2]?[3]? ? = 1763 ? 251 ? 35 ? 5 = 2054。 2. [77713. 由例4得[x?]= [2x]? [x]，于是
2?n?n?2r?11nn]?[?]?([]?[])=[n] = n 。 ??r2r?12r?12r2rr?1r?124． 设x = a ? ?，a=1,2,…,n-1，0 ? ? < 1。代入原方程得到[2a? ? ?2] = 2a?,
?[?12a?1，即有2a个解。由于x=n也是解，,?,2a2a因此，共有2(1?2???n?1)?1个解。
知2a??Z，?的可能取值是
0,5. 设x = n ? ?，n?Z，1 ? ? < 1，则f(x) = [x] ? [2x] ? [22x] ? [23x] ? [24x] ? [25x] = n ? 2n ? 22n ? 23n ? 24n ? 25n ? [2?] ? [22?] ? [23?] ? [24?] ? [25?]，由此得63n ? f(x) ? 63n ? 1 ? 3 ? 7 ? 15 ? 31 ? 63n ? 57，另一方面，12345为63k ? 60型，故f(x) ? 12345。
6. 设n = a0 ? 2a1 ? 22a2 ? ? ? 2sas，ai = 0或1，则
nnnh =[]?[2]?[3]? ?
222= (a1 ? 2a2 ? 22a3 ? ? ? 2s?1as) ? (a2 ? 2a3 ? ? ? 2s?2as) ? ? ? as
= (2 ? 1)a1 ? (22 ? 1)a2 ? ? ? (2s ? 1)as
= (a0 ? 2a1 ? 22a2 ? ? ? 2sas) ? (a0 ? a1 ? a2 ? ? ? as) = n ? k 。
初等数论 附录1 习题参考答案
