第二讲 参数方程 一、曲线的参数方程
第1课时 参数方程的概念、参数方程
与普通方程的互化
A级 基础巩固
一、选择题
??x＝1＋sin θ，
1．方程?(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的
?y＝sin 2θ?
( )
A．(1，1)
?33?
?C.，?
2??2
?31?
B.?2，2? ?
?
?2＋31??D.，－?
2??2
?3π333?
?解析：当θ＝时，x＝，y＝，所以点，?在方程
6222??2??x＝1＋sin θ，
?(θ为参数)所表示的曲线上． ??y＝sin θ
答案：C
2??x＝1＋t，
2．曲线?与x轴交点的直角坐标是( )
?y＝t－1?
A．(0，1) C．(2，0)
B．(1，2) D．(±2，0)
解析：设与x轴交点的直角坐标为(x，y)，令y＝0得t＝1，代入x＝1＋t2，得x＝2，
1
所以曲线与x轴的交点的直角坐标为(2，0)． 答案：C
3．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )
??x＝2t，A.?(t为参数) ??y＝t
??x＝2t，C.?(t为参数) ??y＝－t
??x＝－2t，
B.?(t为参数) ??y＝t
??x＝－2t，D.?(t为参数) ??y＝－t
解析：设(x，y)为所求轨迹上任一点． 由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得：
??x＝2t，
(x－2t)＋(y－t)＝4＋2t.所以?(t为参数)
?y＝t?
2
2
2
答案：A
2??x＝2＋sinθ，
4．参数方程?(θ为参数)化为普通方程是( )
?y＝－1＋cos 2θ?
A．2x－y＋4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．2x－y＋4＝0，x∈[2，3] D．2x＋y－4＝0，x∈[2，3]
解析：由x＝2＋sin2θ，则x∈[2，3]，sin2θ＝x－2，y＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ＝－2x＋4，即2x＋y－4＝0.
故化为普通方程为2x＋y－4＝0，x∈[2，3]． 答案：D
??x＝t，
5．与参数方程?(t为参数)等价的普通方程为( )
??y＝21－t
y2
A．x＋＝1
4
2
1
2y
B．x2＋＝1(0≤x≤1)
42y
C．x2＋＝1(0≤y≤2)
4
2y
D．x2＋＝1(0≤x≤1，0≤y≤2)
4
22yy
解析：x2＝t，＝1－t＝1－x2，x2＋＝1，
44
??t≥0，
由?得0≤t≤1， ??1－t≥0
从而0≤x≤1，0≤y≤2. 答案：D 二、填空题
6．若x＝cos θ，θ为参数，则曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为______________．
解析：把x＝cos θ代入曲线x2＋(y＋1)2＝1， 得cos2θ＋(y＋1)2＝1，
于是(y＋1)2＝1－cos2θ＝sin2θ，即y＝－1±sin θ. 由于参数θ的任意性， 可取y＝－1＋sin θ，
因此，曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为
??x＝cos θ，?(θ为参数)． ??y＝－1＋sin θ
??x＝cos θ答案：?(θ为参数)
??y＝－1＋sin θ
?7．在平面直角坐标系中，曲线C：?2
?y＝1＋2t
2
x＝2＋t，
2
(t为参数)的普
1
通方程为________________．
222
解析：因为x＝2＋t，所以t＝x－2，代入y＝1＋t，
222得y＝x－1，即x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0
8．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极
2??x＝t，
轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4直线与曲线?(t3
??y＝t
为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝______．
解析：由ρcos θ＝4，知x＝4.
2??x＝t，32
又?所以x＝y(x≥0)． 3
??y＝t，
???x＝4，?x＝4，??x＝4，由?32得?或? ???x＝y，??y＝8?y＝－8，
所以|AB|＝（4－4）2＋（8＋8）2＝16. 答案：16 三、解答题
1
x＝t－，t
9．已知曲线C的参数方程为(t为参数，t>0)，求
?1?y＝3?t＋t?
??
???
曲线C的普通方程．
112
解：由x＝t－两边平方得x＝t＋－2，
tt
?1?1y
又y＝3?t＋t?，则t＋＝(y≥6)．
t3??
1y
代入x2＝t＋－2，得x2＝－2，
t3所以3x2－y＋6＝0(y≥6)．
1
故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0(y≥6)．
??x＝3t，
10．已知曲线C的参数方程是?(t为参数)． 2
?y＝2t＋1?
(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系； (2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值． 解：(1)把点M1的坐标(0，1)代入参数方程得
??0＝3t，
?解得t＝0，所以点M1在曲线C上． 2??1＝2t＋1，
??5＝3t，把点M2的坐标(5，4)代入参数方程得? 2
??4＝2t＋1，
5?t＝?3，即?无解，所以点M2不在曲线C上．
32?t?＝2，??6＝3t，
(2)因为点M3(6，a)在曲线C上，所以? 2
?a＝2t＋1.?
解得t＝2， a＝9.所以a＝9.
B级 能力提升
1．当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )
A．(2，3)
?π?
C.?0，2? ??
B．(1，5) D．(2，0)
x2y2
解析：先将P(2cos θ，3sin θ)化为方程为＋＝1，再将选项代
49进去，可得到的是(2，0)．
答案：D
1
高中数学人教A版选修4-4检测：第二讲一第1课时参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化 含解析
