专训1 矩形性质与判定的灵活应用
名师点金:矩形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质,同时还具有一些独特的性质.它的性质可归结为三个方面:(1)从边看:矩形的对边平行且相等;(2)从角看:矩形的四个角都是直角;(3)从对角线看:矩形的对角线互相平分且相等.
判定一个四边形是矩形可从两个角度考虑:一是判定它有三个角为直角;二是先判定它为平行四边形,再判定它有一个角为直角或两条对角线相等.
利用矩形的判定和性质解和差问题
1.如图①,在△中,=,点P是上任意一点,⊥,⊥,⊥,垂足分别为E,F,D. (1)求证:=+.
(2)当点P在的延长线上时,其他条件不变.如图
②,,,之间的上述关系还成立吗?若不成立,请说明理由.
(第1题)
利用矩形的判定和性质解面积问题
2.如图,已知点E是?中边的中点,连接并延长交的延长线于点F. (1)连接,,若∠=2∠,求证:四边形为矩形;
(2)在(1)的条件下,若△是等边三角形,且边长为4,求四边形的面积.
(第2题)
利用矩形的定义判定与菱形有关的矩形
3.【2016·吉林】如图,菱形的对角线,相交于点O,且∥,∥.求证:四边形是矩形.
(第3题)
利用直角三角形斜边上中线的性质判断直线位置关系
4.如图,已知∠=∠=90°,N,M分别是,的中点,判断与的位置关系,并说明理由.
(第4题)
答案
1.(1)证明:如图,作⊥交的延长线于点H.∵⊥,⊥,⊥,∴四边形是矩形.∴=.
(第1题)
∵=,∴∠=∠C. ∵⊥,⊥, ∴∠=∠=90°. ∴∠=∠. 又∵∠=∠, ∴∠=∠. ∵⊥,⊥, ∴∠=∠=90°. 又∵=,
∴△≌△.∴=. ∴==+=+, 即=+.
(2)解:不成立,=+.
理由:作⊥交的延长线于点H.与(1)同理可得=,=. ∴=+=+.
2.(1)证明:∵四边形为平行四边形,∴∥. ∴∠=∠.
又∵点E为的中点,∴=. 又∵∠=∠, ∴△≌△.∴=. 又∵∥,
∴四边形为平行四边形. ∴=.
∵∠为△的外角, ∴∠=∠+∠. 又∵∠=2∠, ∴∠=∠.∴=. ∴+=+,即=. ∴四边形为矩形.
(2)解:∵四边形是矩形, ∴⊥.
又∵△是等边三角形,且边长为4, ∴===2. ∴==2.
∴S矩形=2×2=4. 3.证明:∵∥,∥,
∴四边形是平行四边形. ∵四边形是菱形, ∴⊥.∴∠=90°. ∴四边形是矩形. 4.解:⊥.理由如下: 如图,连接,.在△中,
(第4题)
∠=90°,N是的中点,
∴=.同理可得=.∴=.∴△是等腰三角形. 在等腰三角形中, ∵M是的中点,∴⊥.