函数综合题分类复习
题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令
f'(x)?0得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；
f(x)?g(x)恒成立
不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：
第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征
?h(x)?f(x)?g(x)?0恒成立；参考例4；
132例1.已知函数f(x)?x?bx?2x?a，x?2是f(x)的一个极值点．
322（Ⅰ）求f(x)的单调递增区间；（Ⅱ）若当x?[1, 3]时，f(x)?a?恒成立，求a的取值范围．
332例2.已知函数f(x)?x?ax?ax?b的图象过点P(0,2).
（1）若函数f(x)在x??1处的切线斜率为6，求函数y?f(x)的解析式；（2）若a?3，求函数y?f(x)的单调区间。
2x2,g(x)?ax?5?2a(a?0)。 例3.设f(x)?x?1（1）求f(x)在x?[0,1]上的值域；
（2）若对于任意x1?[0,1]，总存在x0?[0,1],使得g(x0)?f(x1)成立,求a的取值范围。
f(x)?x3?ax2图象上一点P(1,b)的切线斜率为?3， t?62g(x)?x3?x?(t?1)x?3(t?0)
2（Ⅰ）求a,b的值； （Ⅱ）当x?[?1,4]时，求f(x)的值域；
（Ⅲ）当x?[1,4]时，不等式f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围。
32（a?0）例5.已知定义在R上的函数f(x)?ax?2ax?b在区间??2,1?上的最大值是5，最小值是－11.
?tx?0恒成立，求实数x的取值范围. （Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）若t?[?1,1]时，f?(x）例4.已知函数例6.已知函数
f(x)?x3?3mx2?nx?m2，在x??1时有极值0，则m?n? 3bx2，函数g(x)?f(x)??3． 2a210x3例7.已知函数f(x)?2图象上斜率为3的两条切线间的距离为
5a（1） 若函数g(x)在x?1处有极值，求g(x)的解析式；
（2） 若函数g(x)在区间[?1,1]上为增函数，且b答案： 1、解：（Ⅰ）
2?mb?4?g(x)在区间[?1,1]上都成立，求实数m的取值范围．
f'(x)?x2?2bx?2. ∵x?2是f(x)的一个极值点，
32∴x?2是方程x?2bx?2?0的一个根，解得b?.
22'令f(x)?0，则x?3x?2?0，解得x?1或x?2. ∴函数y?f(x)的单调递增区间为(??, 1)，(2, +?).
''（Ⅱ）∵当x?(1,2)时f(x)?0，x?(2,3)时f(x)?0，
f(x)在（1，2）上单调递减，f(x)在（2，3）上单调递增. ∴f(2)是f(x)在区间[1，3]上的最小值，且 f(2)?f(x)?a2?2?a. 3∴
若当x?[1, 3]时，要使
2、解：（Ⅰ） ∴ （Ⅱ）
222222恒成立，只需f(2)?a?， 即?a?a?，解得 0?a?1. 3333?f(0)?b?2?a??3，得 ? ． f?(x)?3x2?2ax?a． 由题意知??b?2f(?1)?3?2a?a?6??f(x)?x3?3x2?3x?2．
f?(x)?3x2?2ax?a?0． ∵ a?3，∴ ??4a2?12a?0．
?a?a2?3a?a?a2?3a由f?(x)?0解得x?或x?，
33?a?a2?3a?a?a2?3a由f?(x)?0解得． ……………10 ?x?33?a?a2?3a?a?a2?3a∴ f(x)的单调增区间为：(??,)和(,??)；
33?a?a2?3a?a?a2?3af(x)的单调减区间为： (,)．……12分
334x(x?1)?2x22x2?4x3、解：(1)法一:(导数法)f?(x)???0 在x?[0,1]上恒成立. 22(x?1)(x?1) ∴f(x)在[0,1]上增，∴f(x)值域[0,1]。
?0,x?02x2????2,x?(0,1], 复合函数求值域. 法二:f(x)?x?1?11?2??xx2x22(x?1)2?4(x?1)?22??2(x?1)??4用双勾函数求值域. 法三:f(x)?x?1x?1x?1 (2)f(x)值域[0,1]，g(x)?ax?5?2a(a?0)在x?[0,1]上的值域[5?2a,5?a].
?5?2a?05 由条件,只须[0,1]?[5?2a,5?a]，∴???a?4.
5?a?12?特别说明：要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路，联想2008年全国一卷第21题，那是单调区间的子区间问题；
?f/(1)??3?a??34、解：（Ⅰ）f(x)?3x?2ax∴?， 解得?
b??2??b?1?a（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在[?1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减又f(?1)??4,f(0)?0,{f(x)}min?f(2)??4,{f(x)}max?f(4)?16 ∴f(x)的值域是[?4,16]
t2x?[1,4] （Ⅲ）令h(x)?f(x)?g(x)??x?(t?1)x?322∴要使f(x)?g(x)恒成立，只需h(x)?0，即t(x?2x)?2x?6
2x?6, 解得t??1； （1）当x?[1,2)时t?2x?2x（2）当x?2时 t?R；
2x?6（3）当x?(2,4]时t?2解得t?8；综上所述所求t的范围是(??,?1][8,??)
x?2x/2特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化；
f(x)?ax3?2ax2?b,?f'(x)?3ax2?4ax?ax(3x?4)
4' 令f(x)=0,得x1?0,x2????2,1?
3因为a?0，所以可得下表： 5、解：（Ⅰ）
x f'(x) ??2,0? + ↗ 0 0 极大 ?0,1? - ↘ f(x) f(0)必为最大值,∴f（0）?5因此b?5， f(?2)??16a?5,f(1)??a?5,?f(1)?f(?2)， 即f(?2)??16a?5??11，∴a?1，∴ f(x）?x3?2x2?5.
2（Ⅱ）∵f?(x)?3x?4x，∴f?(x）?tx?0等价于3x2?4x?tx?0， 令g(t)?xt?3x2?4x，则问题就
因此
?3x2?5x?0?g(?1)?0是g(t)?0在t?[?1,1]上恒成立时，求实数x的取值范围，为此只需?，即?，
2g（1)?0??x?x?0 解得0?x?1，所以所求实数x的取值范围是[0，1].
6、11 （ 说明：通过此题旨在提醒同学们“导数等于零”的根不一定都是极值点，但极值点一定是“导数等于零”方程的根；）
3322?x?3有x??a，即切点坐标为(a,a)，(?a,?a) ?x，∴由22aa∴切线方程为y?a?3(x?a)，或y?a?3(x?a)，整理得3x?y?2a?0或3x?y?2a?0
7、解：∵
f?(x)?∴
|?2a?2a|32?(?1)2?210332，解得a??1，∴f(x)?x，∴g(x)?x?3bx?3。（1）∵g?(x)?3x?3b，g(x)5?1处有极值，∴g?(1)?0，即3?12?3b?0，解得b?1，∴g(x)?x3?3x?3
2（2）∵函数g(x)在区间[?1,1]上为增函数，∴g?(x)?3x?3b?0在区间[?1,1]上恒成立，∴b?0，又∵
在xb2?mb?4?g(x)在区间[?1,1]上恒成立，∴b2?mb?4?g(1)，即b2?mb?4?4?3b，∴m?b?3在b?(??,0]上恒成立，∴m?3∴m的取值范围是?3,???
题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题； （1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种： 第一种：转化为恒成立问题即
f'(x)?0或f'(x)?0在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特
别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法； 第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题；
第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷； 特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别；请参考资料《高考教练》83页第3题和清明节假期作业上的第20题（金考卷第5套）； （2）函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可；
13(k?1)21x?x，g(x)??kx，且f(x)在区间(2,??)上为增函数． 323（1）求实数k的取值范围；（2）若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
332例9.已知函数f(x)?ax?3x?1?.
a （I）讨论函数f(x)的单调性。
（II）若函数y?f(x)在A、B两点处取得极值，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围。
例8．已知函数
f(x)?
例10．已知函数f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，其中a为实数．
(Ⅰ)求导数f?(x)；(Ⅱ)若f?(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值；
(Ⅲ)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a的取值范围
f(x)?x3?ax2?bx?c
（I）若函数f(x)的图像上存在点P，使点P处的切线与x轴平行，求实数a,b 的关系式；
（II）若函数f(x)在x??1和x?3时取得极值且图像与x轴有且只有3个交点，求实数c的取值范围.
1例12．设y?f(x)为三次函数，且图像关于原点对称，当x?时，f(x) 的极小值为?1．
2（Ⅰ）求f(x)的解析式；（Ⅱ）证明：当x?(1,??)时，函数f(x)图像上任意两点的连线的斜率恒大于0．
例11.已知：函数
）处的切线与直线6x?y?7?0.平行，导函数f'(x)的最小f(x)?ax3?bx(a?0)图像在点（1，f（1）
值为－12。（1）求a、b的值；（2）讨论方程f(x)?m解的情况（相同根算一根）。
3例14．已知定义在R上的函数f(x)?ax?bx?c(a,b,c?R)，当x??1时，f(x)取得极大值3，f(0)?1. （Ⅰ）求f(x)的解析式；（Ⅱ）已知实数t能使函数f(x)在区间(t,t?3)上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实
f(x)(x?M)的零点个数. 数t组成的集合为M.请判断函数g(x)?x322例15.已知函数f(x)?kx?3(k?1)x?2k?4,若f(x)的单调减区间为（0，4） （I）求k的值；
2 （II）若对任意的t?[?1,1],关于x的方程2x?5x?a?f(t)总有实数解，求实数a的取值范围。
32例16.已知函数f(x)?ax?bx?x(x?R,a,b是常数)，且当x?1和x?2时，函数f(x)取得极值. （Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）若曲线y?f(x)与g(x)??3x?m(?2?x?0)有两个不同的交点，求实数m的取例13．在函数值范围.
例17.已知函数正项数列满足：a0（Ⅰ）求证：an?1?0，a1?1，点Pn(an?1an?15,)在圆x2?y2?上，(n?N) (n?N?) ks5u
2anan5an； （Ⅱ）若bn?an?1?2an(n?N?)，求证：{bn}是等比数列； 2（Ⅲ）求和：b1?2b2?3b3???nbn
?an?1?f(x)?x3?3t2x?m（x?R,t?0,m、t为常数）是奇函数。ks5u
（Ⅰ）求实数m的值和函数f(x)的图像与x轴交点坐标；（Ⅱ）设g(x)?|f(x)|，x??0,1?，求g(x)的最大值F(t).
例18.函数
32
例19.已知f (x)＝x＋bx＋cx＋2．
⑴若f(x)在x＝1时有极值－1，求b、c的值； ⑵若函数y＝x＋x－5的图象与函数y＝例20. 设函数
2
k?2的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围． x13x?x2?ax，g(x)?2x?b，当x?1?2时，f(x)取得极值. 3（1）求a的值，并判断f(1?2)是函数f(x)的极大值还是极小值；
（2）当x?[?3,4]时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求b的取值范围.
f(x)?
f(x)?kx3?x2?x?5在R上单调递增，记?ABC的三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若
33a2?c2?b2?ac时，不等式fm?sin2B?cos(A?C)?f(2m?)恒成立．
4（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）求角cosB的取值范围；（Ⅲ）求实数m的取值范围。
例21.已知
??答案：
8解：（1）由题意
f?(x)?x2?(k?1)x ∵f(x)在区间(2,??)上为增函数，
2∴f?(x)?x?(k?1)x?0在区间(2,??)上恒成立
即k?1?x恒成立，又x?2，∴k?1?2，故k?1∴k的取值范围为k?1
x3(k?1)21?x?kx?， （2）设h(x)?f(x)?g(x)?323h?(x)?x2?(k?1)x?k?(x?k)(x?1) 令h?(x)?0得x?k或x?1由（1）知k?1，
2①当k?1时，h?(x)?(x?1)?0，h(x)在R上递增，显然不合题意…②当k?1时，h(x)，h?(x)随x的变化情
况如下表：
x h?(x) h(x) (??,k) k ? 0 ↗ 极大值(k,1) 1 — 0 ↘ 极小值 (1,??) ? ↗ k3k21??? 623由于
k?1 2k?1?0，欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程h(x)?0有三个不同的实根，故需2?k?1k3k212????0，即(k?1)(k?2k?2)?0 ∴?2，解得k?1?3 623?k?2k?2?0综上，所求k的取值范围为k?1?3
9、解：（1）
f?(x)?3ax2?6x,f?(x)?0得x1?0或x2?22)递减,(,0)递减,(0,??)递减。 aa0 0 极大值 222，当a>0时，(??,0)递增,(0,)递减,(,??)递增； aaa当a<时，(??,（2）当a>0时 x f?(x) f(x) (??,0) + 增 2(0,) a－ 减 2a0 2(,??) a+ 增 极小值 此时，极大值为当a<0时 f(0)?1?3243,极小值为f()??2?1?.…………7分 aaaa2a0 极小值 x f?(x) f(x) 2(??,) a－ 减 2(,0) a+ 增 0 0 极大值 (0,??) － 减 2433f()??2?1?,极小值为f(0)?1?.因为线段AB与x轴有公共点所以aaaa2(a?3)(a?4)(a?1)f(0)?f()?0即?0,解得a?[?1,0)?[3,4]
aa3210、解：（Ⅰ）f?(x)?3x?2ax?4
112432（Ⅱ）由f?(?1)?0得a?,?f(x)?x?x?4x?2.f?(x)?3x?x?4，由f?(x)?0得x?3229504509f()??,f(?1)?,f(?2)?0,f(2)?0,?f(x)在[-2，2]上最大值，最小值?
2273272此时，极大值为（Ⅲ）
或x=?1又
f?(x)?3x2?f?(?2)?0,?4a?8?0, ?2ax?4， 由题意知?????f(2)?0,??8?4a?0,??2?a?2.???6?a?6,2a??2??2,?6?11、解：（I）设切点P(x?,y?)?f?(x)?3x?2ax?b|x?x??0, ?3x??2ax??b?0,因为存在极值点，所以
222??4a2?12b?0，即a2?3b。（II）因为x??1，x?3是方程f?(x)?3x?2ax?b?0的根，
32所以a?3,b??9，?f(x)?x?3x?9x?c。
2?f?(x)?3x?6x?9?3(x?1)(x?3),?f?(x)?0,x?3,x??1；?f?(x)?0,?1?x?3?f(x)在x??1处取得极大值，在x?3处取得极小值. ?函数图像与x轴有3个交点，??f(?1)?0，?c?(?5,27)
??f(3)?0
12解：（Ⅰ）设
f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)
其图像关于原点对称，即
f(?x)??f(x) 得
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