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习题七
气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同?
答：气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间变化．
力学平衡态与热力学平衡态不同．当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡．而个别粒子所受合外力可以不为零．而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零．
气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何?
答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统．是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，再由实验确认的方法．
从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高．理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点．
何谓微观量?何谓宏观量?它们之间有什么联系?
答：用来描述个别微观粒子特征的物理量称为微观量．如微观粒子(原子、分子等)的大小、质量、速度、能量等．描述大量微观粒子(分子或原子)的集体的物理量叫宏观量，如实验中观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量．
气体宏观量是微观量统计平均的结果． 7.6 计算下列一组粒子平均速率和方均根速率? Ni Vi(m?s?1) 解：平均速率 21 10.0 4 20.0 6 30.0 8 40.0 2 50.0 V???NV?Niii
21?10?4?20?6?30?8?40?2?5021?4?6?8?2890??21.7 m?s?1 41方均根速率
V2???NV?Nii2i
21?102?4?202?6?103?8?402?2?50221?4?6?8?2?25.6 m?s?1
7.7 速率分布函数f(v)的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n为分子数密度，
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N为系统总分子数)．
（1）f(v)dv （2）nf(v)dv （3）Nf(v)dv （4）
?v0f(v)dv （5）?f(v)dv （6）?Nf(v)dv
0v1?v2解：f(v)：表示一定质量的气体，在温度为T的平衡态时，分布在速率v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比.
(1) f(v)dv：表示分布在速率v附近，速率区间dv内的分子数占总分子数的百分比. (2) nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度． (3) Nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数． (4)
?(5)?(6)?v0?f(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数占总分子数的百分比．
f(v)dv：表示分布在0~?的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是1.
0v2v1Nf(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数.
7.8 最概然速率的物理意义是什么?方均根速率、最概然速率和平均速率，它们各有何用处? 答：气体分子速率分布曲线有个极大值，与这个极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率．物理意义是：对所有的相等速率区间而言，在含有vP的那个速率区间内的分子数占总分子数的百分比最大．
分布函数的特征用最概然速率vP表示；讨论分子的平均平动动能用方均根速率，讨论平均自由程用平均速率．
7.9 容器中盛有温度为T的理想气体，试问该气体分子的平均速度是多少?为什么? 答：该气体分子的平均速度为0.在平衡态，由于分子不停地与其他分子及容器壁发生碰撞、其速度也不断地发生变化，分子具有各种可能的速度，而每个分子向各个方向运动的概率是相等的，沿各个方向运动的分子数也相同．从统计看气体分子的平均速度是0.
7.10 在同一温度下，不同气体分子的平均平动动能相等，就氢分子和氧分子比较，氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子大，对吗?
答：不对，平均平动动能相等是统计平均的结果．分子速率由于不停地发生碰撞而发生变化，分子具有各种可能的速率，因此，一些氢分子的速率比氧分子速率大，也有一些氢分子的速率比氧分子速率小．
7.11 如果盛有气体的容器相对某坐标系运动，容器内的分子速度相对这坐标系也增大了， 温度也因此而升高吗?
答：宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．只有当系统的整体运动的动能转变成无规则热运动时，系统温度才会变化． 7.12 题7.12图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢?题6-10图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高? 答：图(a)中(1)表示氧，(2)表示氢；图(b)中(2)温度高．
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题7.12图
7.13 温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么?
答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义．温度微观本质是分子平均平动动能的量度． 7.14 下列系统各有多少个自由度： (1)在一平面上滑动的粒子；
(2)可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币； (3)一弯成三角形的金属棒在空间自由运动． 解：(1) 2，(2)3，(3)6
7.15 试说明下列各量的物理意义．
13ikT （2）kT （3）kT 222Mii3RT （5）RT （6）RT （4）
Mmol222（1）
解：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为(2)在平衡态下，分子平均平动动能均为
1 kT．23kT. 2ikT. 2MiRT.
Mmol2(3)在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量均为
(4)由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的系统的内能为(5) 1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为
iRT. 23(6) 1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能RT，或者说热力学体系内，1摩尔分子的
23平均平动动能之总和为RT.
27.16 有两种不同的理想气体，同压、同温而体积不等，试问下述各量是否相同?
(1)分子数密度；(2)气体质量密度；(3)单位体积内气体分子总平动动能；(4)单位体积内气体分子的总动能． 解：(1)由p?nkT,n?(2)由??(3)由np知分子数密度相同； kTMMmolp知气体质量密度不同； ?VRT3kT知单位体积内气体分子总平动动能相同； 2 _
(4)由nikT知单位体积内气体分子的总动能不一定相同． 27.17 何谓理想气体的内能?为什么理想气体的内能是温度的单值函数?
解：在不涉及化学反应，核反应，电磁变化的情况下，内能是指分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和．对于理想气体不考虑分子间相互作用能量，质量为M的理想气体的所有分子的热运动能量称为理想气体的内能．
由于理想气体不计分子间相互作用力，内能仅为热运动能量之总和．即
E?MiRT是温度的单值函数．
Mmol27.18 如果氢和氦的摩尔数和温度相同，则下列各量是否相等，为什么?
(1)分子的平均平动动能；(2)分子的平动动能；(3)内能． 解：(1)相等，分子的平均平动动能都为(2)不相等，因为氢分子的平均动能
3kT． 253kT，氦分子的平均动能kT． 2253(3)不相等，因为氢分子的内能?RT，氦分子的内能?RT．
227.19 有一水银气压计，当水银柱为0.76m高时，管顶离水银柱液面0.12m，管的截面积为2.0×10-4m2，当有少量氦(He)混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6m，此时温度为 27℃，试计算有多少质量氦气在管顶(He的摩尔质量为0.004kg·mol-1)?
MRT 得 MmolpV M?Mmol
RT5汞的重度 dHg?1.33?10N?m?3
解：由理想气体状态方程pV?氦气的压强 P?(0.76?0.60)?dHg 氦气的体积 V?(0.88?0.60)?2.0?10?4m3
M?0.004? ?0.004?(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)R(273?27)(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)8.31?(273?27)?1.91?10?6Kg
7.20 设有N个粒子的系统，其速率分布如题7.20图所示．求 (1)分布函数f(v)的表达式； (2)a与v0之间的关系；
(3)速度在1.5v0到2.0v0之间的粒子数． (4)粒子的平均速率．
(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率．
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题7.20图
解：(1)从图上可得分布函数表达式
?Nf(v)?av/v0??Nf(v)?a?Nf(v)?0??av/Nv0?f(v)??a/N?0?(2)由归一化条件可得
(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)f(v)满足归一化条件，但这里纵坐标是Nf(v)而不是f(v)故曲线下的总面积为N，
2v0av?0Nv0dv?N?v0adv?N1?N?a(2v0?1.5v0)?N
3v0a?2N 3v0(3)可通过面积计算
(4) N个粒子平均速率
v???02v0av2v01?vf(v)dv??vNf(v)dv??dv??avdv
0v0N0v01123211v?(av0?av0)?v0
N329(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率
?v?v00.5v0vdNN1?Nv0vdN ?0.5v0N1NNv0Nv0av2 ?vf(v)dv?dv
N1?0.5v0N1?0.5v0Nv0332av01v0av21av017av0 v?dv?(?)??0.5v0N1v0N13v024v0N1240.5v0到1v0区间内粒子数
131(a?0.5a)(v0?0.5v0)?av0?N 28427av07vv??0
6N9?1?17.21 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于vp?vp?100与vp?vp?100之间的
N1?分子数占总分子数的百分比．
大学物理答案解析(第三版)
