八年级下册数学 第十九章 一次函数 知识点总结
一、基本概念：
1. 变量： 在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量： 在一个变化过程中数值始终不变的量。
2. 函数定义： 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应， 3、定义域： 一般的，一个函数的自变量 4、确定函数定义域的方法：（即
y 是 x 的函数。 如果当 x=a 时 y=b，那么 b 叫做当自变量的值为
: 自变量取值范围） x 和 y，并且对于 x 的每一个
a 时的函数值。
那么我们就把 x 称为 自变量 ，把 y 称为 因变量 ， x 允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
（ 1）关系式为 整式 时，函数定义域为 全体实数 ； （ 2）关系式含有 分式 时，分式的分母 不等于零 ； （ 3）关系式含有 二次根式 时，被 开放方数大于等于零 ； （ 4）关系式中含有 指数为零 的式子时， 底数不等于零 ； （ 5）实际问题中 ，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 （或：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间关系的式子叫做
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的 6、函数图像的性质：
一般地，对于一个函数，如果把 自变量 与函数 的每对对应值分别作为点的 横、纵坐标 ，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。 7、函数的三种表示法及其优缺点
（ 1）解析法： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （ 2）列表法： 把自变量 x 的一系列值和函数 表示法叫做列表法。
（ 3）图像法： 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 8、由函数解析式画其图像的一般步骤：
（ 1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（ 2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（ 3）连线 ：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 9、正比例函数和一次函数： （ 1）正比例函数定义：
一般地，形如
y=kx （ k 为常数， k≠ 0） y 叫 x 的正比例函数）。
k 叫做比例系数。 k 叫比例系数。 （ 2）一次函数定义：
如果 y=kx+b （ k， b 是常数， k ≠ 0 ），那么 y 叫 x 的一次函数。
当 b=0 时，一次函数 y=kx+b 变为 y=kx 。 正比例函数是一种特殊的一次函数。 (3) 正比例函数的图像： y=kx （ k≠ 0）是经过点（ 0， 0）和（ 1， k）的一条直线。
一次函数的图象： y=kx+b （ k≠ 0）是经过点（ 0， b）和 ( ,0) 的一条直线。
所有一次函数或者正比例函数的图像都
是一条直线。
函数的解析式 。）
取值范围 。
y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种
b
k
（ 4）一次函数 y=kx ＋ b 的图象的画法 .
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条 直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可 先选取它与两坐标轴的交点：（
0，b）， (
.一般情况下：是
b
k
,0) .即横坐标或纵坐标为 0 的点。
（5）性质：（ 1）在一次函数上的任意一点
y 轴交点的坐标总是（
----------------
P（ x， y），都满足等式： y=kx+b(k ≠0) 。
（ 2）一次函数与 0， b) ，与 x 轴总是交于（ -b/k ， 0）
正比例函数的图像都是过原点。
（ 3）函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
10、直线 y=kx ＋b 和直线 y=kx 的图象和性质与 k、 b 的关系如下表所示：
b>0
经过第一、二、三象限
b<0
经过第一、三、四象限
b=0
经过第一、三象限 k>0
图象从左到右上升， y 随 x 的增大而增大
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
k<0
图象从左到右下降， y 随 x 的增大而减小
总结如下：
k>0 时， y 随 x 增大而增大，必过一、三象限。
k>0， b>0 时 , 函数的图象经过 一、二、三 象限；（一次函数）
截距式
k>0， b<0 时 , 函数的图象经过 一、三、四 象限；（一次函数） k>0， b=0 时 , 函数的图象经过 一、三 象限。 （正比例函数） k<0 时 , y 随 x 增大而减小，必过二、四象限
。
k<0， b>0 时，函数的图象经过 一、二、四 象限；（一次函数） k<0， b<0 时，函数的图象经过 二、三、四 象限；（一次函数） k<0， b=0 时，函数的图象经过 二、四 象限。
（正比例函数）
11、直线 y1=kx ＋ b 与 y2 =kx 图象的位置关系：
(1)当 b>0 时，将 y2=kx 图象向 x 轴上方平移
b 个单位，就得到 y1=kx ＋ b 的图象．
(2)当 b<0 时，将 y2=kx 图象向 x 轴下方平移－ b 个单位，就得到了
y1=kx ＋b 的图象．11. 在两个一次函数 表达式中：
1
：y =k 22 x＋ b 2
直线 l ：y =k
1 1
x＋ b 1 与 l
2
k 相同， b 也相同时， 两一次函数图像 重合 ； k 相同， b 不相同时 ，两一次函数图像 平行 ； k 不相同， b 不相同时 ，两一次函数图像 相交 ；
k 不相同， b 相同时 ，
两一次函数图像 交于 y 轴上的同一点（ 0， b）。
12、特殊位置关系：
1
1 1
1 2 2
2 2
直线 l ： y =k x＋ b 与 l ： y =k x＋ b
两直线平行 ，其函数解析式中 K值（即一次项系数）相等 。即： k1
k2 且 b1 b2 两直线垂直 ，其函数解析式中 K 值互为负倒数 （即两个 K 值的乘积为 -1 ）。即 :
k1 ?
1
k2
13、直线平移规律：上加下减（
y），左加右减（ x） 向右平移 n 个单位
y=k （ x-n ） +b 向左平移 n 个单位 y=k
（x+n） +b
向上平移 n 个单位 y =kx+b+n
向下平移 n 个单位
y =kx+b-n
14、待定系数法 ：先设待求函数的关系式（其中含未知系数），再根据条件列出方程或方 程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法。
待定系数法 求函数解析式步骤 ：
（ 1）根据已知条件写出含有待定系数的解析式
y=kx 或者 y=kx+b ；
（ 2）将 x、 y 的几对值或图象上几个点的坐标代入上述解析式，
得到待定系数为未知数的方程或方程组。 （ 3）解方程（组）得到待定系数的值。
（ 4）将求出的待定系数代回所求的函数解析式，得到所求函数的解析式。
如何设一次函数解析式： 点斜式 y-y 1=k(x-x 1) （k 为直线斜率 ,(x 1,y 1) 为该直线所过的一个点） 两点式
(y-y 1) / (y
2 -y 1)=(x-x
1)/(x
2
-x 1) （已知直线上（ x1,y 1）与（ x2,y 2）两点） （ y=-b/ax+b a
、b 分别为直线在
x、y 轴上的截距
, 已知（ 0，b）,(a ，0)
）
扩展： 1. 求函数图像的 k 值：
y
1
y
2
x1 x2
2.
求任意线段的长 ：
(x1 x2) ( y1 y2)
2
2
3. 求两个一次函数式图像 交点 坐标： 解两函数式 , 就是解方程组
4. 求任意 两点 所连线段的 中点 坐标： x1 x2 , y1 y2
2
2
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