专升本高等数学测试题
1.函数y?1?sinx是（ D ）．
（A） 奇函数； （B） 偶函数； （C） 单调增加函数； （D） 有界函数． 解析 因为?1?sinx?1，即0?1?sinx?2, 所以函数y?1?sinx为有界函数． 2.若f(u)可导，且y?f(e)，则有（ B ）；
（A）dy?f'(e)dx； （B）dy?f'(e)edx；
xx（C）dy?f(e)edx； （D）dy?[f(e)]'edx．
xxxxxxx解析 y?f(e)可以看作由y?f(u)和u?e复合而成的复合函数
x由复合函数求导法 y??f?(u)e????f?(u)?exxxx，
所以 dy?y??dx?f'(e)edx． 3.
???0e?xdx=( B );
(A)不收敛; (B)1; (C)－１; (D)0.
????0解析
?0e?xdx??e?xx?0?1?1．
4.y???2y??y?(x?1)e的特解形式可设为（ A ）；
2x (A)x(ax?b)e ； (B) x(ax?b)e；
x
x (C) (ax?b)e； (D) (ax?b)x．
22x解析 特征方程为r?2r?1?0，特征根为 r1=r2=1．?=1是特征方程的特征重根，于是有yp?x(ax?b)e．
25.
??Dx2?y2dxdy?( C )，其中D：1≤x2?y2≤4；
(A) (C)
??2π02π0d??rdr； (B)
142??2π02π0d??rdr；
14d??r2dr； (D)
12d??rdr．
12解析 此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式． 当??x?rcos?22时，dxdy?rdrd?，由于1≤x?y≤4，D表示为 1?r?2，0???2π，故
?y?rsin?2??Dx?ydxdy?2??r?rdrd???D2π0d??r2dr．
12
6.函数y=
x?arcsin(?1)的定义域
23?x21解由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小
于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即
??? ????3?x?0,??3?x?3,2 推得 3?x?0,??0?x?4,x?1?1,23, 因此，所给函数的定义域为 [0,3).
即 0?x?7. 求极限lim2?x?2 =
x?22?x解：原式=lim(2?x?2)(2?x?2)
x?2(2?x)(2?x?2)1
x?22?x?2 =lim=
1. （恒等变换之后“能代就代”） 4=
?8.求极限limx?1x1sinπtdt1?cosπx0解：此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得
0? limx?1x1sinπtdt=limx?1(?sinπtdt)?1x1?cosπx
(1?cosπx)?=limsinπx11?lim()??
x?1?πsinπxx?1?ππ9.曲线??x?t,在点（1，1）处切线的斜率 3?y?t,?1?t,?t?1, ?31?t,?解：由题意知：
dy?
dxt?1(t3)??(t)?t?1?3t2t?1?3,
?曲线在点（1，1）处切线的斜率为3
10. 方程y''?2y'?y?0, 的通解为 解： 特征方程r?2r?1?0, 特征根r1?r2?1,
2
通解为y?(C1?C2x)e. 11. 交错级数
x?(?1)n?1n?1?1的敛散性为
n(n?1)?11=?,
n(n?1)n?1n(n?1)（4） ???(?1)n?1?n?1而级数
1收敛，故原级数绝对收敛. ?n?1n(n?1)
12.lim(1?1x). （第二个重要极限）
x??x21x1x1x1?x?1?1解一 原式=lim(1?)(1?)?lim(1?)?lim[(1?)]=ee?1，
x??x?0x??xxxx1(?x2)(?x)0]=e?1． 解二 原式=lim[(1?2)x??x113.lim[x?011?ln(1?x)] xx20?或型. 0?
解 所求极限为???型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成
11x?ln(1?x)lim[?2ln(1?x)]?lim?lim2x?0xx?0x?0xx ?limx1?11?x 2x1?x?111?lim?.
x?02x(1?x)x?02(1?x)214.设f(x)?xe，求f'(x).
解：令y?x, 两边取对数得：lny?elnx, 两边关于x求导数得：
exx1exx ?y'?e?lnx?
yxexy'?y(elnx?)
xxex). 即 y'?x(elnx?xexx15.求f(x)?x3+3x在闭区间??5,5?上的极大值与极小值，最大值与最小值.
2解：f?(x)?3x?6x, 令f?(x)?0, 得x1?0,2x2??2,
f??(x)?6x?6, f??(0)?6?0, f??(?2)??6?0,
∴f(x)的极大值为f(?2)?4，极小值为f(0)?0. ∵f(?5)??50, f(5)?200.
∴ 比较f(?5),f(?2),f(0),f(5)的大小可知：
f(x)最大值为200， 最小值为?50.
16.求不定积分
?1?11?xdx.
2解： 令1?x?t, 则 x?t?1 , dx?2tdt,于是
原式=
2tt?1?1dt==dt2dt2[dt??1?t?1?t??1?t]=2t?2ln1?t?C
=21?x?2ln1?1?x?C.
17.求定积分
?1?041?xxdx .
解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．
令 t?x ，x?t2 ，dx?2tdt ，
当x?0时，t?0，当x?4时，t?2，于是
21?t4==2tdt[4?2t?]dt dx?0?01?x?01?t1?t41?x2?4t?t2?4ln1?t?2?0?4?4ln3.
18. 求方程 (ex?y?ex)dx?(ex?y?ey)dy?0的通解；
xyyx解 整理得 e(e?1)dx??e(e?1)dy，
eyexdy??xdx， 用分离变量法，得 ye?1e?1两边求不定积分，得 ln(e?1)??ln(e?1)?lnC， 于是所求方程的通解为 e?1?即 e?yyyxC， ex?1C?1． ex?1
19.u?esinxy, 求
x?u?x,(0,1)?u?y.
(1,0)解：因
?u?exsinxy?excosxy?y?ex(sinxy?ycosxy), ?x?u?excosxy?x, ?y??u?x?u?y?e0(sin0?cos0)?1,
(0,1)?e(cos0?1)?e.
(1,0)20.画出二次积分
?20dy?2?4?y22?4?y2f?x,y?dx的积分区域D并交换积分次序.
y 0?y?2,??解：D：?
22??2?4?y?x?2?4?y?0?x?4,的图形如右图，由图可知，D也可表为? ?2??0?y?4x?x,O 2 4 x 所以交换积分次序后，得
?40dx?04x?xf?x,y?dy.
2
21.求平行于y轴，且过点A(1,?5,1)与B(3,2,?3)的平面方程.
解一 利用向量运算的方法。关键是求出平面的法向量n.因为平面平行于y轴，所以n?j.又因为平面过点A与
B，所以必有n?AB.于是，取n=j?AB,
i 而AB={2，7，?4} ，所以 n=0j1k0=?4i?2k，
27?4因此，由平面的点法式方程，得?4(x?1)?0(y?5)?2(z?1)?0，即 2x?z?3?0.
解二 利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为 Ax?By?Cz?D?0,
由于平面平行于y轴，所以 B?0，原方程变为Ax?Cz?D?0，又所求平面过点A(1, ?5, 1)与B(3 , 2, ?3)，
将A,B的坐标代入上述方程，得??A?C?D?0, 解之得 A?2C, D??3C,代入所设方程，故所求平面方程为
?3A?3C?D?0,2x?z?3?0.
专升本高等数学测试题（答案）
