（2）①设2014年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30﹣y）万元，
2015年购买健身器材的费用为（1+50%）（30﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣
）y万元，
）y=30，
根据题意得：（1+50%）（30﹣y）+（1﹣解得：y=16，30﹣y=14，
则2014年购买药品的总费用为16万元；
②设这个相同的百分数为m，则2015年健身家庭的药品费用为200（1+m）， 2015年平均每户健身家庭的药品费用为
（1﹣m）万元，
依题意得：200（1+m）?解得：m=±，
∵m＞0，∴m==50%， ∴200（1+m）=300（户），
（1﹣m）=（1+50%）×14×，
则2015年该社区健身家庭的户数为300户．
点评： 此题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点． （1）求∠FDE的度数；
（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论； （3）当G为线段DC的中点时， ①求证：FD=FI；
②设AC=2m，BD=2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．
考点： 圆的综合题；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质． 专题： 综合题．
分析： （1）根据直径所对的圆周角是直角即可得到∠FDE=90°；
（2）由四边形ABCD是菱形可得AB∥CD，要证四边形FACD是平行四边形，只需证明DF∥AC，只需证明∠AEB=∠FDE，由于∠FDE=90°，只需证明∠AEB=90°，根据四边形ABCD是菱形即可得到结论；
（3）①连接GE，如图，易证GE是△ACD的中位线，即可得到GE∥DA，即可得到∠FHI=∠FGE=∠FGE=90°．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=GE，从而有
=
，根据圆周角定理可得∠1=∠2，根据等角的余角
）2=πm2，
相等可得∠3=∠4，根据等角对等边可得FD=DI；②易知S⊙O=π（
S菱形ABCD=?2m?2n=2mn，要求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比，只需得到m与n的关系，易证EI=EA=m，DF=AC=2m，EF=FI+IE=DF+AE=3m，在Rt△DEF中运用勾股定理即可解决问题．
解答： 解：（1）∵EF是⊙O的直径，∴∠FDE=90°；
（2）四边形FACD是平行四边形． 理由如下：
∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD， ∴∠AEB=90°． 又∵∠FDE=90°， ∴∠AEB=∠FDE，
∴AC∥DF，
∴四边形FACD是平行四边形；
（3）①连接GE，如图．
∵四边形ABCD是菱形，∴点E为AC中点． ∵G为线段DC的中点，∴GE∥DA， ∴∠FHI=∠FGE．
∵EF是⊙O的直径，∴∠FGE=90°， ∴∠FHI=90°．
∵∠DEC=∠AEB=90°，G为线段DC的中点， ∴DG=GE， ∴
=
，
∴∠1=∠2．
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°， ∴∠3=∠4， ∴FD=FI；
②∵AC∥DF，∴∠3=∠6． ∵∠4=∠5，∠3=∠4， ∴∠5=∠6，∴EI=EA．
∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形， ∴DE=BD=n，AE=AC=m，FD=AC=2m， ∴EF=FI+IE=FD+AE=3m．
在Rt△EDF中，根据勾股定理可得： n2+（2m）2=（3m）2， 即n=
m，
）2=πm2，S菱形ABCD=?2m?2n=2mn=2
．
m2，
∴S⊙O=π（
∴S⊙O：S菱形ABCD=
点评： 本题主要考查了菱形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理、等角的余角相等、等角对等边、平行线的性质、勾股定理、圆及菱形的面积公式等知识，综合性强，证到IE=EA，进而得到EF=3m是解决第3（2）小题的关键．
24．如图1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y=ax2+bx+n（a≠0）过E，A′两点．
（1）填空：∠AOB= 45 °，用m表示点A′的坐标：A′（ m ， ﹣m ）； （2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且△ABC是否相似？说明理由；
（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN⊥y轴，垂足为N：
①求a，b，m满足的关系式；
②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a的取值范围．
=时，△D′OE与
考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题．
分析： （1）由B与C的坐标求出OB与OC的长，根据OC﹣OB表示出BC的长，由题意AB=2BC，表示出AB，得到AB=OB，即三角形AOB为等腰直角三角形，即可求出所求角的度数；由旋转的性质得：OD′=D′A′=m，即可确定出A′坐标；
（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：根据题意表示出A与B的坐标，由
=，
表示出P坐标，由抛物线的顶点为A′，表示出抛物线解析式，把点E坐标代入整理得到m与n的关系式，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证；
（3）①当E与原点重合时，把A与E坐标代入y=ax2+bx+c，整理即可得到a，b，m的关系式；
②抛物线与四边形ABCD有公共点，可得出抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，分两种情况考虑：若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10，求出此时a的值；若抛物线过点A（2m，2m），求出此时a的值，即可确定出抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围． 解答： 解：（1）∵B（2m，0），C（3m，0）， ∴OB=2m，OC=3m，即BC=m， ∵AB=2BC， ∴AB=2m=0B， ∵∠ABO=90°，
∴△ABO为等腰直角三角形， ∴∠AOB=45°，
由旋转的性质得：OD′=D′A′=m，即A′（m，﹣m）； 故答案为：45；m，﹣m； （2）△D′OE∽△ABC，理由如下： 由已知得：A（2m，2m），B（2m，0）， ∵
=，
2015年湖北省宜昌市中考数学试卷附详细答案（原版+解析版）
