多项式插值的振荡现象
姓 名：
学 院：数理与信息工程学院 班 级： 学 号：
数值分析实验报告
数值分析实验报告
实验名称 姓名 一、 实验目的 多项式插值的振荡现象 班级 学号 实验时间 2013年10月 23日 成绩 1．理解多项式插值，懂得它的振荡现象。 2. 研究样条插值，并分析它的收敛性。 3. 学会在实际生活中使用二维插值。 二、 实验内容 1. 设区间[-1,1]上函数 f(x)?1 21?25x 考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为 xi??1?2i,i?0,1,2,?,n n则拉格朗日插值多项式为 Ln(x)??1l(x) 2i1?25xi?0jn其中的li(x),i?0,1,2,?,n是n次拉格朗日插值基函数。 2. 请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。考虑实验1中的函数或选择其他你有兴趣的函数，可以用MATLAB的函数“spline”作此函数的三次样条插值。 3. 在一丘陵地带测量高程，x和y方向每隔100米测一个点，得高程数据如下。试用MATLAB的二维插值函数“interp2”进行插值，并由此找出最高点和
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该点的高程。 三、算法描述 （1）编写好拉格朗日插值函数，保存在M文件中； （2）考虑到：1、一幅图中太多的曲线会相互覆盖；2、n取奇偶数可能结果不同；3、不同的节点选取方法可能导致不同的结果。故而n的选择分为n=2:2:8、n=3:2:9或者n=2:4:10、n=3:4:11与n=40三种情况； （3）节点的选取分为均匀节点、切比雪夫节点两种 四、程序流程图 由于实验方案明显、简单，实现步骤及流程图省略。 五、实验结果 具体结果在实验分析里：整理的结果如下 1>实验一的结果： 1. f(x)?1 21?25x当节点为均匀节点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是不收敛，但是节点数越多，0附近的拟合效果越好，但是两端误差较大。 当节点为切比雪夫点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是可以收敛，节点数越多，拟合效果越好。 2. h(x)?x1?x4 当节点为均匀节点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，也是不收敛，但是节点数越多，0附近的拟合效果越好，同时两端的误差较大。 2
当节点为切比雪夫点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是可以收敛，节点数越多，拟合效果越好。 3. g(x)?arctanx 当节点为均匀节点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，也是不收敛，但是节点数越多，0附近的拟合效果越好，同时两端的误差较大。 当节点为切比雪夫点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是可以收敛，节点数越多，拟合效果越好。 2>实验二的结果 通过作图可以发现：插值点数目增加时，三次样条插值光滑度依然很好，而且精度比以前更高，收敛性很好；但是发现lagrange 插值却出现偏离，即存在误差，而且随着节点的增加，偏离越明显。由此，可以发现，三次样条插值的收敛性比lagrange 插值好。 3>思考题结果 通过分析计算可知，最高点为：166 178 该点的高程为：721.098 六、实验结果分析 1>实验一结果分析 首先尝试了一些n值，发现振荡明显，而且还有覆盖现象，由下图可见： 3
21.51n=10n=20.5n=4n=30y=1/(1+25*x2)-0.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 故针对上述现象，我们可以采用分开讨论测试的方法； （1）f(x)? 1 1?25x2n 1.节点为均匀节点时：xi??1?2i,i?0,1,2,?,n a)当节点为奇数时，即n=2：2：8，可以得到如下图像 1.210.8n=70.6n=5y=1/(1+25*x2)n=30.40.2n=10-0.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 点数越多，附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大； b)当节点为偶数时，即n=3：2：9，可以得到如下图像 从图中可以看到：节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；节 4
多项式插值的振荡现象 - 图文
