韩山师范学院2011年专升本插班生考试样卷
数学与应用数学专业数学分析
填空题(每小题 2分，共30分)：
d 2x
1.
设函数f (x)连续，则在[a,b]上 f(t)dt二 2f(2x)
L1dx --------
2.
2 sin x S1 s in2x
e 0 < x *1
设函数f(x) 在［0, 2］上连续，则a二 e_1 .
a+x, 1vx 兰2, -------
判别非正常积分
： xarctanx
：
3.
dx的敛散性：
发散.(收敛、发散)
--------------
4.
3
h
3
2
y =2x-9x ?12x-3的单调递减区间为
2
(1,2).
5.
6. 7.
2x 函数f(x) 1 +x 22
函数Z = J1 _X +J1 _y定义域为
2
(x 0)的极值点为 X=1 . --------
{(X, y) —1兰X兰1,—1兰y兰1}
2
重积分
D
xydxdy (其中D:0空y^x ,0空x乞1)的值为
1 12
8.
设 f(x, y)= Jxy+兰，则
fy(2,1)= 0
11
9.
lim(1
2 3 1 - )n = n
2
2
1 .
10. 设 E ={(x,y) 1 vx +y 兰 2〉，则 E 的内部 int E= {(x, y) 1 c x + y v
2〉
22
11.
设 fn(x)=
12.
nx
1 +n x
x (-：：，：：).则 lim fn(x)
二
n^jc
, x 0 7, x = 0
1
厂 x ：
1,
x = ar sin ： cos -
： 0
：：
广义球坐标变换 」y =br sin①sin日的雅可比行列式
(x,y,z)
z = cr cos^
13.
abcrs in
2
1 n
幕级数一(x -1)的收敛域为 ［0, 2) n # n
设 E ={x —[x] x 运 R},则 supE = 1
00
14.
15.
1 / 5
设a . 0 , \\xn;满足:
_1(
X
?；(X
a
),n =0,1,2)||,证明:忘收敛,
n1
n
2
Xn
并求 lim Xn. (10 分)
n
j:
证 : X
a n 1 —
= ,(
却
III),
a
X
X
n
2(
XX
n
_ n
)二
一 n
2X<0, (n =2)
HD，
n
数列；、X「单调递减且有下界 ,a，从而［X^收敛.
设 lim =b，则有 lim Xn_scn 1
1
即有�甘；)，解得b-盲.
Xlim( n
x
2 2
三、证明不等式：当
X ,
X 八
0 ：：: X 时，
1 —'COSX .(8 分)
- 2 sin X
证：已知，当0 ：：：x 时，有不等式 一：::一 <1.
2 兀 x
2
X .
1)
.
当0 ：：： x 时，f (x) 0 ,从而f (x)在(0,)严格增加且在［0,］连续，
2 2 2
2 2
X
x
又 f (0) = 0 ,于是当 0 ：： x
时，有 f (x)
(0) = 0 ,即 1 -cs x . 2
2)设、 g(x) =1 -cosx ，有x
g (x)二sinx n：
2x
ji
当0 :: x 时，g (x) 0，从而g (x)在(0,)严格增加且在［0,］连续,
2 2 2
2
又g(0) =0 ,于是当0 ：： x 时，有g(x) = 1
x
2
-cosx
g(0)=0,即 1 -cos
四、计算题(每小题 6分，共12分)
1.设 f (x) = . x2
1 -1 n(x . x2
1)，求 f
2 / 5
1 cosx f
X
X
2
兀
2.
2
-::x x 1
解: 由定义，
dx
lim
P—L!:
2臬 dx lim (x J) 弓
n 2 4
2
2x 1 3
arcta
2、. 3 2.3
0
dx 2 3
2x 1
arcta .3
4、3
冗;
-oO
0
疋，
dx x2 x 1
dx
2、.3
It?
x2 x 1
n
五、应用柯西准则判别级数
-
sin3
的敛散性.(8
sin3n
证: 设Un
，有
Un1 'Un^ ' HlUn -p 二
sin3 sin3
22
(n 2) (n 1)
n 1
n 2
n亠
p
(n p)
2
(n 1) (n 2)
一 1
22
1 12HI - (n p)
+
+
n(n 1) (n 1)(n 2) 1 1 1
,
lll 1
(n P -1)(n p)
n (n p) n
1
于是, X/g >0 , =N =[—]+1 E N+, Wn〉N , Vp^N+，都有
z
1
Un 十十 Un 七 +iHUnf<— ￡ E .
n
n
由柯西准则，级数
、、、收敛.
2
xy 2
2
(x, -(0,0)在点(0,0)的偏导数存在，但在此点
y)
六、证明函数f(x, y) = tx +y (x, y) =(o,o) 不可微.(8分)
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