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号12）*2。
第一部分 函数、极限和连续
一、函数的定义域、函数的特性（有界性单调性奇偶性等）
f(x)?M或a?f(x)?b
如：y?sinx,y?cosx，反三角函数
有界：
说明：分段函数一般不是初等函数，但也有特例。如
y???xx?02??xx?0?x
二、极限的概念与计算 1、左极限：
lim?x?x?f(x)?f(x0)?f(x0?0)?A， 0右极限：
limf(x)?f(x?0 x?x0?)?f(x0?0)?A结论:
xlim?xf(x)?A?xlim0?x0?f(x)?xlim?x0?f(x)?A
2、xlim???f(x)?A和xlim???f(x)?A
结论:
limx??f(x)?A?xlim???f(x)?xlim???f(x)?A
三、极限的运算
1、无穷小与有界函数的乘积是无穷小。例:limsinxx??x
2、(00型)
例:limx?32x?3x?3x2?9、limx?1x2?5x?4?? ? 3、(型)
?mm?12a0x?a1x???amx?2x?5例：lim、lim
nn?12x??3x?x?1x??bx?bx???bn01n2??23???n?2n3?23??limnn?1?lim?3
nn??2?3n???2??3???3?11n?11?2???(?1)] 4、例:lim[nn??222(含数列之和,先求和) 四、无穷小与无穷大
1、无穷小与无穷大的判别。
x?1例：f(x)?何时是无穷小？何时是无穷大？是否有水平或铅直渐近线？
x2x练习：f(x)?何时是无穷小？何时是无穷大？是否有水平或铅直渐近线？
x?12、无穷小的比较：
2?(x)?(x)?(x)?1 lim?0， lim??，lim?(x)?(x)?(x)五、两个重要极限 1、夹逼准则： 若
yn?xn?zn，limyn?limzn?a，limxn?a
sinx?1 2、第一类重要极限：limx?0xn??n??n??0 特点：(1)型 (2)含三角函数或反三角函数
0sin3x例:lim，
x?0xtg2xsin2x1lim?limx?03xx?03xcos2x，
2sin2x12?lim?3x?02xcos2x32x2sin1?cosx2lim?lim，
22x?0x?0xxarcsinxsin3xsinxlim,lim,lim x?0x?0sin2xx??x??x3、第二类重要极限：
1xlim(1?)?lim(1?x)?e
x?0x??x1?? 特点：(1)底数:1???1 (2)指数:x?1xlim() 例:求lim(1?2x)x??x?1x?01x，
1x?六、函数的连续性 1、定义
x?x0limf(x)?f(x0)
?x例 讨论函数f(x)???2xx?0在x?0处的连续性。
x?02、函数的间断点(不连续点)：没有定义、
x?x0limf(x)不存在、
x?x0limf(x)?f(x0)
3、初等函数的连续性：一切初等函数在定义区间内是连续的。 4、有界性与最大值最小值定理
5、零点定理 例 证明方程6、介值定理 练习:
x?4x?1?0在区间(0,1)内至少有一个根
32xxxx，lim limx?0x?1?1x???x2?1?13、求极限：
f(x)?(2?3)?(2?3)的奇偶性；
n?12113?12x?cosxn2、求极限：lim，lim(1?，lim，?)2n??n??2n?3nx??x2?sinxnn1、判定函数
lim[n??1n2?1?1x1n2?21?x???1n2?n]
4、讨论极限：
limx?0e?e1xe?esinx5、求函数y?的连续区间。若有间断点，试指出间断点的类型；
2x?x6．设f(x)的定义域为[0,1]，则函数
1??f?x???4??1?的定义域是 （ D ） (09年) ?f?x??4??1311A．[0,1] B．?15? C．??,? D．?,?
?,?????44???44???44?1?x；
7．下列极限存在的是 （ B ） (09年)
xA．lim B．lim2
x??sinxx??n21?1?C．lim?1? D．lim ?xx?02?1n???n?8. 若lima?k（k为常数），则liman2n? k 。
n??n??1x?e,x?09．设函数f(x)??在x?0处连续，
?a?x,x?0则a? 1 。 (09年) 10．
xx???nlim1x(x?x?4)nnn2?（05年）
11．n??x???lim2?3?5?5（06年）
x???12．设limf(x)?1，则lim[f(x?2)?f(x)]=。
ex?e?x?213.计算lim． (09年)
x?0x214．设曲线y?f(x)在原点与曲线y?sinx相切，
?2?求limnf??(09年) n???n?15．求极限（08年）
x???lim??a?x??b?x??nn（08年）
?a?x??b?x??.
2?3?716..求极限limn????5?n?7nn第二部分 一元函数微分学
高数专升本教案1
