综上所述，当b?2时，f(x)在区间(1,??)上递增；
22 当b?2时，f(x)在(1,b?b?4)上递减；f(x)在[b?b?4,??)上递增。
22(2)（方法一）由题意，得：g'(x)?h(x)(x?2x?1)?h(x)(x?1) 又h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，
所以对任意的x?(1,??)都有g?(x)?0，g(x)在(1,??)上递增。 又????x1?x2,????(2m?1)(x1?x2)。 当m?221,m?1时，???，且??x1?(m?1)x1?(1?m)x2,??x2?(1?m)x1?(m?1)x2， 2
综合以上讨论，得：所求m的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知，g(x)的导函数g'(x)?h(x)(x?2x?1)，其中函数h(x)?0对于任意的x?(1,??)都成立。所以，当x?1时，g'(x)?h(x)(x?1)?0，从而g(x)在区间(1,??)上单调递增。 ①当m?(0,1)时，有??mx1?(1?m)x2?mx1?(1?m)x1?x1，
22??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，得??(x1,x2)，同理可得??(x1,x2)，所以由g(x)的单调
性知g(?)、g(?)?(g(x1),g(x2))，
从而有|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，符合题设。
②当m?0时，??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，
??(1?m)x1?mx2?(1?m)x1?mx1?x1，于是由??1,??1及g(x)的单调性知
g(?)?g(x1)?g(x2)?g(?)，所以|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符。
③当m?1时，同理可得??x1,??x2，进而得|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符。 因此综合①、②、③得所求的m的取值范围是（0，1）。
数学Ⅱ（附加题）
21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A． 选修4-1：几何证明选讲 （本小题满分10分）
AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。
[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证力。
（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC， 又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO， ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO， 所以∠DCO=300，∠DOC=600，
所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。 （方法二）证明：连结OD、BD。
因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。 因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。 又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA， 于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。 即2OB=OB+BC，得OB=BC。 故AB=2BC。
B． 选修4-2：矩阵与变换
能
AOBCDAB
（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=??k0??01?,N=，????01??10?点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。
[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。 解：由题设得MN???k0??01??0k? ???????01??10??10?由??0k??0?2?2??00k?、B1（0，-2）、C1（k，-2）。 ??001???0?2?2?，可知A1（0，0）
10??????计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|?2?1?2。 所以k的值为2或-2。
C． 选修4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。 [解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。 解：??2?cos?，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x?y?2x,(x?1)?y?1，
直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x?4y?a?0，
22222又圆与直线相切，所以
D． 选修4-5：不等式选讲 （本小题满分10分）
|3?1?4?0?a|3?422?1,解得：a?2，或a??8。
33设a、b是非负实数，求证：a?b?ab(a2?b2)。
[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。
332222（方法一）证明：a?b?ab(a?b)?aa(a?b)?bb(b?a)
?(a?b)[(a)5?(b)5]
?(a?b)2[(a)4?(a)3(b)?(a)2(b)2?(a)(b)3?(b)4]
2432234因为实数a、b≥0，(a?b)?0,[(a)?(a)(b)?(a)(b)?(a)(b)?(b)]?0
33所以上式≥0。即有a?b?ab(a2?b2)。
（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得
a3?b3?ab(a2?b2)?a2a(a?b)?b2b(b?a)?(a?b)[(a)5?(b)5]
当a?b时，a?当a?b时，a?33所以a?b?b，从而(a)5?(b)5，得(a?b)[(a)5?(b)5]?0； b，从而(a)5?(b)5，得(a?b)[(a)5?(b)5]?0；
ab(a2?b2)。
[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22、（本小题满分10分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。 （1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
[解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。 解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且
P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18， P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。 由此得X的分布列为：
X P 10 0.72 5 0.18 2 0.08 -3 0.02 （2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4?n件。 由题设知4n?(4?n)?10，解得n? 又n?N，得n?3，或n?4。
3?0.83?0.2?0.84?0.8192 所求概率为P?C414， 5答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。
23、（本小题满分10分） 已知△ABC的三边长都是有理数。
（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。
[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。
b2?c2?a2（方法一）（1）证明：设三边长分别为a,b,c，cosA?，∵a,b,c是有理数，
2bcb2?c2?a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
b2?c2?a2∴必为有理数，∴cosA是有理数。
2bc（2）①当n?1时，显然cosA是有理数；
当n?2时，∵cos2A?2cos2A?1，因为cosA是有理数， ∴cos2A也是有理数； ②假设当n?k(k?2)时，结论成立，即coskA、cos(k?1)A均是有理数。 当n?k?1时，cos(k?1)A?coskAcosA?sinkAsinA，
1cos(k?1)A?coskAcosA?[cos(kA?A)?cos(kA?A)]，
211cos(k?1)A?coskAcosA?cos(k?1)A?cos(k?1)A，
22解得：cos(k?1)A?2coskAcosA?cos(k?1)A
∵cosA，coskA，cos(k?1)A均是有理数，∴2coskAcosA?cos(k?1)A是有理数， ∴cos(k?1)A是有理数。 即当n?k?1时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。 （方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知
AB2?AC2?BC2是有理数。 cosA?2AB?AC（2）用数学归纳法证明cosnA和sinA?sinnA都是有理数。
①当n?1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinA?sinA?1?cosA也是有理数。 ②假设当n?k(k?1)时，coskA和sinA?sinkA都是有理数。 当n?k?1时，由cos(k?1)A?cosA?coskA?sinA?sinkA，
2sinA?sin(k?1)A?sinA?(sinA?coskA?cosA?sinkA)?(sinA?sinA)?coskA?(sinA?sinkA)?cosA，
及①和归纳假设，知cos(k?1)A和sinA?sin(k?1)A都是有理数。 即当n?k?1时，结论成立。
综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。
2010年江苏高考数学试卷及解析
