2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ试题 参考公式： 锥体的体积公式: V锥体=
1Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。 3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____. [解析] 考查集合的运算推理。3?B, a+2=3, a=1.
2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲_____. [解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。
3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲__. [解析]考查古典概型知识。2
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。
[解析]考查频率分布直方图的知识。 100×（0.001+0.001+0.004）×5=30
5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x?R)是偶函数，则实数a=_______▲_________ [解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。
x2y2??1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线
412的距离是___▲_______ [解析]考查双曲线的定义。
MF4?e??2，d为点M到右准线x?1的距离，d=2，MF=4。 d27、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______
25[解析]考查流程图理解。1?2?2?L?2?31?33,输出S?1?2?2?L?2?63。
248、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____
▲_____
[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
2在点(ak,ak2)处的切线方程为：y?ak?2ak(x?ak),当y?0时，解得x?ak， 2所以ak?1?ak,a1?a3?a5?16?4?1?21。 2229、在平面直角坐标系xOy中，已知圆x?y?4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____
来源[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2， 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，
|c|。 ?1，c的取值范围是（-13，13）
1310、定义在区间?0,????过点P作PP1⊥x轴于点P1，?上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，
2?直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。 [解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值， 且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=
22。线段P1P2的长为 332?211、已知函数f(x)??x?1,x?0,则满足不等式f(1?x)?f(2x)的x的范围是__▲___。
x?0?1,2?1?x?2x?[解析] 考查分段函数的单调性。??x?(?1,2?1) 2??1?x?0x2x312、设实数x,y满足3≤xy≤8，4≤≤9，则4的最大值是 ▲ 。
yy2。来源[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。
x22x3x221111x3()?[16,81]，2?[,]，4?()?2?[2,27]，4的最大值是27。 yyyxyxy83y
13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，?baatanCtanC?6cosC，?则=____▲_____。 btanAtanB[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。 （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。 当A=B或a=b时满足题意，此时有：cosC?C211?cosC12C??，tan?，tan，
22321?cosC2tanA?tanB?1tanC2?2，
tanCtanC= 4。 ?tanAtanBa2?b2?c23c2ba222222?a?b,a?b?（方法二）??6cosC?6abcosC?a?b，6ab?
2ab2abtanCtanCsinCcosBsinA?sinBcosAsinCsin(A?B)1sin2C???????由正弦定理，tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB1c2c2c2????4 得：上式=?cosCab1(a2?b2)13c2?662
14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
2(梯形的周长）S?,则S的最小值是____▲____。
梯形的面积[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。 设剪成的小正三角形的边长为x，则：S?(3?x)24(3?x)2??(0?x?1) 21331?x?(x?1)??(1?x)22（方法一）利用导数求函数最小值。
4(3?x)24(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)S(x)???，S?(x)? 2221?x(1?x)334(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)4?2(3x?1)(x?3)????
(1?x2)2(1?x2)2331S?(x)?0,0?x?1,x?，
311当x?(0,]时，S?(x)?0,递减；当x?[,1)时，S?(x)?0,递增；
33故当x?3231时，S的最小值是。
33（方法二）利用函数的方法求最小值。
4t241111?2??令3?x?t,t?(2,3),?(,)，则：S?
86t323?t?6t?83???1t2t故当?1t32331。 ,x?时，S的最小值是383
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足(AB?tOC)·OC=0，求t的值。
[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。
uuuruuur（1）（方法一）由题设知AB?(3,5),AC?(?1,1)，则 uuuruuuruuuruuurAB?AC?(2,6),AB?AC?(4,4). uuuruuuruuuruuur所以|AB?AC|?210,|AB?AC|?42.
故所求的两条对角线的长分别为42、210。
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:
E为B、C的中点，E（0，1）
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210；
uuuruuuruuur（2）由题设知：OC=(－2,－1)，AB?tOC?(3?2t,5?t)。
由(AB?tOC)·OC=0，得：(3?2t,5?t)?(?2,?1)?0，
11。 5uuuruuurruuuruuuruuur2uuuAB?OC11或者：AB·OC ?tOC，AB?(3,5),t?uuur2??
从而5t??11,所以t??|OC|5
16、（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，∠BCD=900。 (1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离。
[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推
∥
理论证能力和运算能力。满分14分。
（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC。
由∠BCD=900，得CD⊥BC，
又PDIDC=D，PD、DC?平面PCD， 所以BC⊥平面PCD。
因为PC?平面PCD，故PC⊥BC。
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则： 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC， 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。 易知DF=
2，故点A到平面PBC的距离等于2。 2（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。 因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。 从而AB=2，BC=1，得?ABC的面积S?ABC?1。 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积V?因为PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC。 又PD=DC=1，所以PC?11S?ABC?PD?。 33PD2?DC2?2。
2。 2由PC⊥BC，BC=1，得?PBC的面积S?PBC?由VA?PBC?VP?ABC，SVPBC?h?V?故点A到平面PBC的距离等于2。
131，得h?2， 317、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β
(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值
(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大
2010年江苏高考数学试卷及解析
