微专题12 带电粒子在复合场中的运动
带电粒子在叠加场中的运动
1．带电体在叠加场中无约束情况下的运动 (1)洛伦兹力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题．
(2)静电力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子) ①若静电力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．
②若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．
(3)静电力、洛伦兹力、重力并存 ①若三力平衡，一定做匀速直线运动． ②若重力与静电力平衡，一定做匀速圆周运动．
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题．
2．带电体在叠加场中有约束情况下的运动
带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解．
(2019·山东枣庄一模)如图所示，穿有M、N两个小球(均视为质点)的光滑绝
缘圆环，固定在竖直面内，圆心为O、半径R＝0.3 m．M、N用一根不可伸长的绝缘轻质细绳相连，小球质量分别为mM＝0.01 kg、mN＝0.08 kg；M带电荷量q＝＋7×10 C，N不带电．该空间同时存在匀强电场和匀强磁场．电场方向竖直向上，电场强度E＝1×10 V/m；磁场方向垂直于圆环平面向里，磁感应强度B＝
32
×10 T．将两小球从图示位置(M与圆心7
3
－4
O等高，N在圆心O的正下方)由静止释放，两小球开始沿逆时针方向向上转动．重力加速度g取10 m/s2，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.则在两球从图示位置逆时针向上转动的
过程中，求：
(1)通过计算判断，小球M能否到达圆环的最高点． (2)小球M速度最大时，圆环对小球M的弹力． (3)小球M电势能变化量的最大值．
解析：(1)设M、N在转动过程中，绳对M、N做的功分别为WT、WT′，则
WT＋WT′＝0，
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设M到达圆环最高点时，M、N的动能分别为EkM、EkN， 对M，洛伦兹力不做功，由动能定理得qER－mMgR＋WT＝EkM， 对N，由动能定理得WT′－mNgR＝EkN， 联立解得EkM＋EkN＝－0.06 J，
即M在圆环最高点时，系统动能为负值，故M不能到达圆环的最高点．
(2)设N转过α角时，M、N的速度大小分别为vM、vN，因M、N做圆周运动的半径和角速度均相同，故vM＝vN，
对M，洛伦兹力不做功，由动能定理得
qERsin α－mMgRsin α＋WT2＝mMv2M，
对N，由动能定理得
1
2
WT2′－mNgR(1－cos α)＝mNv2N， WT2＋WT2′＝0，
联立解得
1
2
v2M＝×(3sin α＋4cos α－4)，
23由上式可得，当α＝37°时，M、N的速度达到最大速度，最大速度vmax＝ m/s，
3
43
M速度最大时，设绳的拉力为F，圆环对小球M的弹力为FN，由牛顿第二定律得Fcos 45°
＝(qE－mMg)cos 37°，
mMv2maxqvmaxB＝Fsin 45°－(qE－mMg)sin 37°＋FN＝，
R解得FN＝－0.096 N，负号表示弹力方向沿圆环径向向外．
(3)M、N从图示位置逆时针转动过程中，由于M不能到达最高点，所以，当两球速度为42
0时，电场力做功最多，电势能减少最多．由vM＝×(3sin α＋4cos α－4)得3sin α＋
34cos α－4＝0，
24
解得sin α＝(sin α＝0舍去)，
25
126
故M的电势能变化量的最大值|ΔEp|＝qERsin α＝ J＝0.201 6 J.
625答案：(1)见解析 (2)0.096 N 沿圆环径向向外 (3)0.201 6 J
带电粒子在叠加场中运动的分析方法
(1)弄清叠加场的组成．
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(2)进行受力分析．
(3)确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合． (4)对于粒子连续通过几个不同种类的场时，要分阶段进行处理． (5)画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律．
①当带电粒子在叠加场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解．②当带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动时，应用牛顿运动定律结合圆周运动规律求解．③当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．④对于临界问题，注意挖掘隐含条件．
(2019·辽宁五校联考)如图所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC，其延长
线在D点与半圆轨道DF相切，轨道半径R＝1 m，轨道均为绝缘材料制成且位于竖直面内，整个空间存在水平向左的匀强电场，MN的右侧存在垂直于纸面向里的匀强磁场(C点在MN100边界上)．一质量为0.4 kg的带电小球沿轨道AC下滑，至C点时速度v0＝ m/s，接着沿
7直线CD运动到D处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且恰好能通过F点，在F点速度vF＝4 m/s，不计空气阻力，g取10 m/s，cos 37°＝0.8，求：
(1)小球带何种电荷；
(2)小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功．
(3)小球从F点飞出时磁场同时消失，小球离开F点后的运动轨迹与轨道AC所在直线的交点为G(G点未标出)，求G点到D点的距离．
解析：(1)在MN右侧，小球受到重力、电场力与洛伦兹力作用，如果小球带负电荷，电场力水平向右，洛伦兹力指向左下方，重力竖直向下，小球受到的合力不可能为零，小球不可能做直线运动，则小球带正电荷．
100(2)小球在C、D间做匀速直线运动，则在D点的速度与C点的速度大小相等，即vD＝
7m/s，
电场力与重力的合力F0＝
＝5 N.
cos 37°
2
mg从D到F的过程，对小球，
1212
由动能定理可得－Wf－F0·2R＝mvF－mvD，
22代入数据解得Wf＝27.6 J.
(3)小球离开F点后做类平抛运动，加速度a＝， 1222
2R＝at，代入数据解得t＝ s，
25
F0
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G点到D点的距离x＝vFt＝4×
22
m＝2.26 m. 5
答案：(1)带正电荷 (2)27.6 J (3)2.26 m
1．设在地面上方的真空室内存在匀强电场和匀强磁场．已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的，电场强度的大小E＝4.0 V/m, 磁感应强度的大小B＝0.15 T，今有一个带负电的质点以v＝20 m/s的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电量与质量之比q/m以及磁场的所有可能方向(角度可用反三角函数表示)．
解析：根据带电质点做匀速直线运动的条件，得知此带电质点所受的重力、电场力和洛伦兹力的合力必定为零．由此推知此三个力的同一竖直平面内，如图所示，质点的速度垂直纸面向外．
由合力为零的条件，可得mg＝q求得带电质点的电量与质量之比＝代入数据得＝
vBqm2
＋E，①
2
g②
vB2＋E2
2
qm9.8020×0.15
2
＋4.0
C/kg＝1.96 C/kg③
因质点带负电，电场方向与电场力方向相反，因而磁场方向也与电场力方向相反，设磁场方向与重力方向之间夹角为θ，则有qEsin θ＝qvBcos θ.
解得tg θ＝＝
vB20×0.15
，θ＝arctg 0.75④
E4.0
即磁场是沿着与重力方向夹角θ＝arctg 0.75，且斜向下方的一切方向． 答案：见解析
带电粒子在组合场中的运动
1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，电场、磁场交替出现． 2．分析思路
(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．
如图所示，半径为R的圆形区域，c为圆心，在圆上a点有一粒子源以相同的
速率向圆面内各个方向发射多个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子．当圆形区域存在垂直于圆面、磁感应强度大小为B的匀强磁场时，沿ac方向射入的粒子从b点离开场区，此过2π
程粒子速度方向偏转了.若只将圆形区域内的磁场换成平行于圆面的匀强电场，粒子从电
3
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场圆边界的不同位置射出时有不同的动能，其最大动能是初动能的4倍，经过b点的粒子在
b点的动能是初动能的3倍．不计粒子重力及粒子间的相互作用．求：
(1)粒子源发射粒子的速度v0及从b点离开磁场的粒子在磁场中运动的最长时间tm； (2)电场强度的方向及大小．
解析：(1)粒子在磁场中作匀速圆周运动，设轨迹圆半径为r，作出以ab为弦的两段圆弧如图所示，O1、O2分别为两圆圆心，由从b点射出的粒子速度偏转角知：对以O1为圆心的2π圆有：圆周角∠aO1b＝，
3
π
由几何知识可知：弦切角∠cab＝，△abc为等边三角形，可得ab长度：L＝R①
3从△abO1可得：r＝
3
R② 3
v20
由圆周运动的规律有：qv0B＝m③
r由②③式可得：v0＝
3qBR④ 3m粒子在磁场中运动时间最长时的轨迹是以O2为圆心的圆弧，在菱形aO1bO2中有：∠aO2b2π
＝∠aO1b＝
3
粒子的偏转角θ＝2π－∠aO2b⑤ 由圆周运动的规律有：tm＝4πm解得tm＝.
3qB(2)设电场方向与ab连线夹角为θ，离开电场时动能最大的粒子的射出点和c点连线一定和电场方向平行，如图所示．
在粒子从a运动到b点过程中由动能定理有：
θr⑥ v0
qERcos θ＝2×mv20⑦
以离开电场时动能最大的粒子在电场中由动能定理有：
1
2
qER?1＋sin?θ＋??＝3×mv20⑧
6
????
π??
??
12
由④⑦⑧式解得：θ＝0(即电场方向由a指向b)
2
qRB247qRBE＝或θ满足sin θ＝－3，E＝.
3m73m3qBR4πmqRB7qRB答案：(1) (2)或
3m3qB3m3m22
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2019年高考物理大一轮复习微专题12带电粒子在复合场中的运动学案新人教版 - 3192
