2020年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
2020.4.2 8：00～11：00
本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、 选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列﹛an﹜的通项公式an?2n2?4n?5，则﹛an﹜的最大项是（ ）
(A) a1 (B) a2 (C ) a3 (D) a4
2. 函数y?3log3x的图像大致是（ ）
y y 1 1 1 1 o x o x (A ) (B )
y y
1 1 o 1 x o 1 x
(C ) (D) 3. 已知抛物线y2
=2px，o是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P共有( ) (A)0个 (B)2个 (C)4个 (D)6个
4.设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数．若x1+x2>O，x2+x3>O，x3十x1>O，
则 ( )
(A)f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 (B)f(x1)+f(x2)+f(x3)
(A)0条 (B)1条 (C)4条 (D)无数多条
6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，tanA?边为1，则最短边的长为（ ） A．
1310,cosB?.若△ABC最长的21025 5B．
3545 C． 55D．
5 5二．填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分.
7．集合A={x∣x=3n，n∈N，0 244 ，则COSθ+sin θ的值是 35 9．(x-3x)的展开式中，x的系数为 y?≥0 10.已知 ?22 ?3x?y≥0 ,则x+y的最大值是 ?x?3y?3 ?≥0 111．等比数列{an}的首项为a1?2020，公比q??．设f(n)表示该数列的前n项的积， 2则当n= 时，f(n)有最大值． 12．长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB1=4，AD1=3，则对角线AC1 的取值范围为 三、解答题（第13题、14题各12分，15题16分，16题20分） ???2a????1?，若A∩B≠?，求实数a的取值范围。 13．设集合A=?xlog1(3?x)??2?，B=?x?x?a???2?? x2y214．椭圆??1的右焦点为F，P1，P2，…，P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其 94中P1是椭圆的右顶点，并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=…=∠P24FP1.若这24个点到右准线的距离的 2 倒数和为S，求S的值． 15. △ABC中,AB 2 16. 设p是质数，且p+71的不同正因数的个数不超过10个，求p [参考答案] 1.B 2 . A 3. B 4. B 5. C 6. D 7. 225 8. 11 9. 27 10. 9 11. n=12 12. AC1∈(4,5) 1813. a∈(-1,0)∪(0,3) 14. 180 15. 略 16. 质数p为2或3 6．解：由cosB? 3101知B为锐角.?tanB? 103tanA?tanB??1 1?tanA?tanB 由（1）知?C?135?，故c边最长，即c=1，又tanA?tanB，故b边最短 故tanC?tan(??A?B)??tan(A?B)?? ?sinB?102,sinC?102?由正弦定理 bc得 ?sinBsinC b?csinB55? 即最短边的长为. sinC551n(n2?1)1n?1n11．解 an?2002?(?)，f(n)?2002?(?) 22∵|f(n?1)|?2002， n|f(n)|2∴当n≤10时，|f(n?1)|?2002＞1，∴ | f(11) |＞| f(10) |＞…＞| f(1) |； n|f(n)|2当n≥11时， |f(n?1)|2002?n＜1，∴ | f(11) |＞| f(12) |＞… |f(n)|2∵f(11)?0,f(10)?0,f(9)?0,f(12)?0，∴f(n)的最大值为f(9)或f(12)中的最大者． 1202012?()66120202∵f(12)??20203?()30?(10)3?1， f(9)20209?(?1)362221222 16.解： 当p=2时，p+71=75=5×3，此时共有正因数(2+1)(1+1)=6个，故p=2 24 满足要求．当p=3时，p+71=80=2×5，此时共有正因数(4+1)(1+1)=10个，故p=3 满足条件． 22 当p>3时，p+71=p-1+72=(p-1)(p+1)+72.质数p必为3k±1型的奇数 p-1、p+1是相邻的两个偶数，且其中必有一个是3的倍数.所以，(p—1)(p+1)是24的倍数， 2 从而p+71是24的倍数． ∴ 当n=12时，f(n)有最大值为f(12)?200212?()66． 设p+71=24×m，m≥4． 2 若m有不同于2、3的质因数，则，p+71的正因数个数≥(3+1)(1+1)(1+1)>l0； 2 若m中含有质因数3，则，p+71的正因数个数≥(3+1)(2+1)>10； 2 若m中仅含有质因数2，则p+71的正因数个数≥(5+1) (1+1)>10； 所以，p>3不满足条件．综上所述，所求得的质数p是2或3. 2
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