专题24.4弧长和扇形面积(讲练)
一、 知识点 1.正多边形与圆 2.弧长和扇形面积的计算
n?r2n?r1lr扇形的弧长l=180;扇形的面积S=360=2
3.圆锥与侧面展开图
(1)圆锥侧面展开图是一个扇形,扇形的半径等于圆锥的母线,扇形的弧长等于圆锥的底面周长. (2)计算公式:
圆锥S侧==πrl,S=πr(l+r)
注:易与勾股定理联系,先求母线长,再求面积 二、标准例题:
例1:如图,在矩形ABCD中有对角线AC与BD相等,已知AB=4,BC=3,则有AB2+BC2=AC2,矩形在直线MN上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置……依次类推,则:
(1)AC=__________.
(2)这样连续旋转2019次后,顶点B在整个旋转过程中所经过的路程之和是________.
【答案】5 3028π
【解析】(1)∵AB2+BC2=AC2, AB=4,BC=3, ∴AC= 4+3=25, ∴AC=5;
(2)转动一次B的路线长是:0,转动第二次的路线长是:
2
2
2
90??33?π,转动第三次的路线长是:180290??5590??4?π,转动第四次的路线长是:=2π,以此类推,每四次循环, 1802180 1
2019÷4=504余3,
顶点B转动四次经过的路线长为:0+
35?+?+ 2π=6π,
2235?+?=3028π.
22连续旋转2019次经过的路线长为:6π×504+0+故答案为:(1)5;(2)3028π.
总结:本题考查弧长的计算、矩形的性质、旋转变换等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
例2:如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=23,BC=2,以AB的中点为圆心,OA的长为半径作半圆交AC于点D,则图中阴影部分的面积为( )
A.
53?? 42B.
53?? 42C.23??
D.43??2
【答案】A 【解析】
连接OD,过点O作OH⊥AC,垂足为 H, 则有AD=2AH,∠AHO=90°,
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=23,BC=2,tan∠A=∴∠A=30°, ∴OH=
BC23, ??AB2331333OA=,AH=AO?cos∠A=3??,∠BOC=2∠A=60°, 2222∴AD=2AH=3,
∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=1?23?2?1?3?3?60????32=
22236053??, 42故选A.
2
总结:本题考查了垂径定理,圆周角定理,扇形面积,解直角三角形等知识,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
例3:如图,点C为扇形OAB的半径OB上一点,将?OAC沿AC折叠,点O恰好落在?AB上的点D处,
?的长)??:???表示BD且BD,若将此扇形OAB围成一个圆锥,则圆锥的底面半径与母线长的AD??1:3(BD比为( )
A.1:3 【答案】D
B.1:? C.1:4 D.2:9
【解析】解:连接OD交AC于M.
由折叠的知识可得:OM?1OA,?OMA?90?, 2??OAM?30?, ??AOM?60?,
??:?Q且BDAD??1:3,
??AOB?80?
设圆锥的底面半径为r,母线长为l,
80?l?2?r, 180 3
?r:l?2:9.
故选:D.
总结:本题考查的是扇形,熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键. 三、练习
1.1.如图,已知在⊙O中,AB=43, AF=6,AC是直径,AC⊥BD于F,图中阴影部分的面积是( )
A.
83??23 C.
83??43
D.
163??43 【答案】D
【解析】解:∵AC是直径,AC⊥BD于F,
∴BF=DF,?BC?DC·, ∴∠BAC=∠DAC, 在RT△ABF中, BF?AB2?AF2?23
∴BD=2BF=43, 连接OB、OD、BC,
B.163??23 4
∵AC是直径, ∴∠ABC=90°,
∴BF2=AF?FC,即(23)2=6FC, ∴FC=2,
∴直径AC=AF+FC=6+2=8, ∴⊙O的半径为4, ∵AB=43,AF=6, ∴cos?BAF?AF63AB?43?2, ∴∠BAF=30°, ∴∠BAD=60°, ∴∠BOD=120°, ∵OC=4,FC=2, ∴OF=2,
∴S阴影=S扇形?S?BOD
?120??42360?12?43?2?163??43
故选择:D.
2.圆锥的底面半径是5cm,侧面展开图的圆心角是180°,圆锥的高是( A.53cm B.10cm
C.6cm
D.5cm 【答案】A
【解析】设圆锥的母线长为R,
5
)