[基础题组练]
1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cos A＝b A．3 C．2 B．22 D．3 3且2 解析：选C.由余弦定理b2＋c2－2bccos A＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4，因为b 2．在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有( ) A．一个 C．0个 B．两个 D．无法确定 6sin 45°bsin A3 解析：选B.由正弦定理得sin B＝＝＝，因为b>a，所以B＝60°或120°， a22故满足条件的三角形有两个． 3．(2020·湖南省湘东六校联考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2 ＝ac，且sin C＝2sin B，则其最小内角的余弦值为( ) A．－ 2 4 B.2 4 52C. 83D． 4 解析：选C.由sin C＝2sin B及正弦定理，得c＝2b.又b2＝ac，所以b＝2a，所以cb2＋c2－a2 ＝2a，所以A为△ABC的最小内角．由余弦定理，知cos A＝＝ 2bc （2a）2＋（2a）2－a252 ＝，故选C. 82·2a·2a 4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中，正确的是( ) A．若a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C B．若A＞B＞C，则sin A D．若a2＋b2＜c2，则△ABC是锐角三角形 解析：选A.对于A，由于a＞b＞c，由正弦定理sin B＞sin C，故A正确； abc 对于B，A＞B＞C，由大边对大角定理可知，则a＞b＞c，由正弦定理＝＝sin Asin Bsin C＝2R，可得sin A＞sin B＞sin C，故B错误； 对于C，根据正弦定理可得acos B＋bcos A＝2R(sin A·cos B＋sin Bcos A)＝2Rsin(B＋A)＝2Rsin(π－C)＝2Rsin C＝c，故C错误； 对于 D，a2＋b2＜c2，由余弦定理可得 a2＋b2－c2 cos C＝＜0，由C∈(0，π)，可得C是 2ab abc＝＝＝2R，可得sin A＞sin Asin Bsin C 钝角，故D错误． 5．(2020·长春市质量监测(一))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1 b＝acos C＋c，则角A等于( ) 2 A．60° C．45° B．120° D．135° 11 解析：选A.法一：由b＝acos C＋c及正弦定理，可得sin B＝sin Acos C＋sin C，即 2211 sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin C，即sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin C，所以cos Asin 2211 C＝sin C，又在△ABC中，sin C≠0，所以cos A＝，所以A＝60°，故选A. 22 b2＋a2－c211 法二：由b＝acos C＋c及余弦定理，可得b＝a·＋c，即2b2＝b2＋a2－c2＋ 22ab2b2＋c2－a21 bc，整理得b2＋c2－a2＝bc，于是cos A＝＝，所以A＝60°，故选A. 2bc2 6．在△ABC中，角A，B，C满足sin Acos C－sin Bcos C＝0，则三角形的形状为 ． 解析：由已知得cos C(sin A－sin B)＝0，所以有cos C＝0或sin A＝sin B，解得C＝90°或A＝B. 答案：直角三角形或等腰三角形 7．(2019·高考天津卷改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a，3csin B＝4asin C，则cos B＝ ． bc解析：在△ABC中，由正弦定理＝，得bsin C＝csin B，又由3csin B＝4asin C， sin Bsin C42 得3bsin C＝4asin C，即3b＝4a.因为b＋c＝2a，得到b＝a，c＝a.由余弦定理可得cos B 33a2＋c2－b2 2ac 416 a2＋a2－a2 991＝＝－. 242·a·a3 ＝ 1 答案：－ 4 π 8．(2020·河南期末改编)在△ABC中，B＝，AC＝3，且cos2C－cos2A－sin2B＝－2sin 3Bsin C，则C＝ ，BC＝ ． 解析：由cos2C－cos2A－sin2B＝－2sin Bsin C，可得1－sin2C－(1－sin2A)－sin2B＝－2sin Bsin C，即sin2A－sin2C－sin2B＝－2sin Bsin C．结合正弦定理得BC2－AB2－AC2＝－2·AC·AB，所以cos A＝ 5π 答案： 12 2 2π5πACBC，A＝，则C＝π－A－B＝.由＝，解得BC＝2. 2412sin Bsin A 9．(2020·江西赣州模拟)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＋bcos A＝0. (1)求角A的大小； (2)若a＝25，b＝2，求边c的长． 解：(1)因为asin B＋bcos A＝0， 所以sin Asin B＋sin Bcos A＝0， 即sin B(sin A＋cos A)＝0， 由于B为三角形的内角， 所以sin A＋cos A＝0， π A＋?＝0，而A为三角形的内角， 所以2sin??4?3π 所以A＝. 4 (2)在△ABC中，a2＝c2＋b2－2cbcos A，即20＝c2＋4－4c?－ ? 2?，解得c＝－42(舍去)2?或c＝22. 10．在△ABC中，A＝2B. (1)求证：a＝2bcos B； (2)若b＝2，c＝4，求B的值． abab 解：(1)证明：因为A＝2B，所以由正弦定理＝，得＝，所以a＝2bcos sin Asin Bsin 2Bsin BB. (2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A， 因为b＝2，c＝4，A＝2B，所以16cos2B＝4＋16－16cos 2B， 3 所以cos2B＝， 4因为A＋B＝2B＋B<π， π3 所以B<，所以cos B＝， 32π 所以B＝. 6 [综合题组练] π1 1．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝( ) 43310 A. 10C．－ 10 10 B.10 10 310D．－ 10 1π 解析：选C.如图，过点A作AD⊥BC.设BC＝a，则BC边上的高AD＝a.又因为B＝， 34122 所以BD＝AD＝a，AB＝a，DC＝a－BD＝a，所以AC＝333 AB2＋AC2－BC2 2AB·AC AD2＋DC2＝ 5 a.在△ABC3 中，由余弦定理得cos A＝ 22522a＋a－a9910＝＝－. 1025 2×a×a 33 2．(2020·郑州市调研测试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sin2A＋sin2B－sin2Csin Asin B ＝，若a＋b＝4，则c的取值范围为( ) cacos B＋bcos A A．(0，4) C．[1，4) B．[2，4) D．(2，4] sin2A＋sin2B－sin2Csin Asin B解析：选B.根据正弦定理可得＝，即 sin Csin Acos B＋cos Asin Bsin2A＋sin2B－sin2Csin Asin B ＝，由三角形内角和定理可得sin(A＋B)＝sin C，所以sin2A sin Csin（A＋B）＋sin2B－sin2C＝sin Asin B，再根据正弦定理可得a2＋b2－c2＝ab.因为a＋b＝4，a＋b≥2ab，所以ab≤4，(a＋b)2＝16，得a2＋b2＝16－2ab，所以16－2ab－c2＝ab，所以16－c2＝3ab，故16－c2≤12，c2≥4，c≥2，故2≤c＜4，故选B. 3．(2020·广东佛山顺德第二次质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2bsin Ccos A＋asin A＝2csin B. (1)证明：△ABC为等腰三角形； (2)若D为BC边上的点，BD＝2DC，且∠ADB＝2∠ACD，a＝3，求b的值． 解：(1)证明：因为2bsin Ccos A＋asin A＝2csin B， 所以由正弦定理得2bccos A＋a2＝2cb， b2＋c2－a2由余弦定理得2bc·＋a2＝2bc， 2bc化简得b2＋c2＝2bc，所以(b－c)2＝0，即b＝c.
2021高考文一轮分层突破：第四章 第6讲 第1课时 正弦定理和余弦定理
