【考点】结构图．
【分析】根据由于“子集”是在基本关系中的概念，故要加入“子集”，则应该放在“集合”的下位“集合的运算”的下位“基本关系”的下位上，进而得到答案．【解答】解：由于“子集”是在基本关系中的概念
故子集应放在“集合”的下位“集合的运算”的下位“基本关系”的下位上故答案为：“基本关系”．
16．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）=2f（
+
．
）﹣1，则f（x）=
【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据f （x）=2f （代替x代入f （x）=2f （f（x）．
【解答】解：考虑到所给式子中含有在f（x）=2f（得f（
）
﹣1，用
f（x）和f（
），故可考虑利用换元法进行求解．
））
﹣1，考虑到所给式子中含有﹣1，解关于入f （x）与f （
f（x）和f（
），用
）的方程组，即可求得
代替x，
）=
﹣1代入f（x）=2f（
）
﹣1中，可
）=2f（x）
++
﹣1，将f（．
求得f（x）=故答案为：
三．解答题（共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
2
2
.）
．
17．已知i是虚数单位，z1=x+yi（x，y∈R），且x+y=1，z2=（3+4i）z1+（3﹣4i）（ I）求证：z2∈R；
（ II）求z2的最大值和最小值．【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】（Ⅰ）求出z1的共轭复数，再代入计算即可证明，
（Ⅱ）设u=6x﹣8y，代入x+y=1消去y得，根据判别式法即可求出．【解答】解：（Ⅰ）证明∵∴z1+
1
2
2
z1=x+yi，
1
=x﹣yi（x，y∈R），
=2x，z1﹣
1
=2yi．
∴z2=（3+4i）z1+（3﹣4i）1，=3（z1+
）+4i（z1﹣
1
）．
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=6x+8yi=（6x﹣8y）∈R （Ⅱ）解∵x+y=1，
设u=6x﹣8y，代入x+y=1消去y得64x+（6x﹣u）=64．∴100x﹣12ux+u﹣64=0．∵x∈R，∴△≥0．
∴144u﹣4×100（u﹣64）≥0．∴u﹣100≤0．∴﹣10≤u≤10．
∴z2的最大值是10，最小值是﹣10
18．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为0.15x和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售公司能获得的最大利润为多少万元？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】先根据题意，设甲销售【解答】解：设甲地销售则该公司能获得的最大利润当x=10.2时，S取最大值又x必须是整数，故
x=10，此时Smax=45.6（万元）．
5辆时，该公司能获得的最大利润为
45.6万元
即甲地销售10辆，则乙地销售
x辆，则乙销售（15﹣x）辆，再列出总利润
15﹣x辆，0≤x≤15，
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
L1=5.06x﹣15辆车，求该
y的表达式，
是一个关于x的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可．
x辆，则乙地销售
y=5.06x﹣0.15x+2（15﹣x）=﹣0.15x+3.06x+30，
19．已知a＞b＞0，求证：【考点】基本不等式．【分析】可以看出中间项为
．
＞0，可采用做商比较法或做差比较法．
【解答】解：∵
又==
∵a＞b＞0，∴，所以上式大于1，
故成立，
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同理可证
20．第24届冬奥会将于募了16名男志愿者和运动，其余人不喜爱运动．
2024年在我国北京和张家口举行，为了搞好接待工作，组委会招
10人和6人喜爱
14名女志愿者，调查发现，男，女志愿者中分别有
2×2列联表：不喜爱运动
总计16 14 30
（ I）根据以上数据完成以下男女总计
喜爱运动10 6
（ II）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过喜爱运动有关？（ III
）如果从喜欢运动的女志愿者中（其中恰有
0.10的前提下认为性别与
2名负责翻译工
4人会外语），抽取
作，那么抽出的志愿者中至少有附：
独立检验临界值表：P（χ≥k0）k0
2
1人能胜任翻译工作的概率是多少？
0.40 0.708 0.25 1.323 0.10 2.706 0.010 6.635
【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（I）由题中条件补充（III）喜欢运动的女志愿者有出满足条件的概率即可．【解答】解：（I）男女总计…
（II）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得K=
因此，在犯错误的概率不超过（III）喜欢运动的女志愿者有设喜欢运动的女志愿者分别为种取法，
其中两人都不会外语的只有故抽出的志愿者中至少有
EF这1种取法．
1人能胜任翻译工作的概率是
P=1﹣
=
…
2
2×2列联表中的数据，
k，对性别与喜爱运动有关的程度进行判断，
这6人中挑两个人，而有
4人会外语，求
2
（II）利用2×2列联表中的数据，计算出
6人，总数是从
喜爱运动10 6 16 不喜爱运动6 8 14 总计16 14 30
≈1.1 575＜2.706．
0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关．…6人，
A、B、C、D、E、F，其中A、B、C、D会外语，则从这
6人
中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15
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21．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知f（x）=ax+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．
（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；（2）若对任意实数
b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求
a的范围；
f（x）的不动点，
（3）在（2）的条件下，若且A、B两点关于直线
y=kx+
y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数
对称，求b的最小值．
2
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象；函数与方程的综合运用．【分析】（1）转化为直接解方程
2
x﹣x﹣3=x即可．
b﹣4a（b﹣1）＞0恒成立，再利用
2
2
（2）转化为ax+bx+b﹣1=0有两个不等实根，转化为二次函数大于线垂直．找到
2
0恒成立须满足的条件来求解即可．
a，b之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得．
2
（3）利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直【解答】解：（1）∵a=1，b=﹣2时，f（x）=x﹣x﹣3，f（x）=x?x﹣2x﹣3=0?x=﹣1，x=3 ∴函数f（x）的不动点为﹣1和3；
（2）即f（x）=ax+（b+1）x+b﹣1=x有两个不等实根，转化为ax+bx+b﹣1=0有两个不等实根，须有判别式大于
2
2
2
2
0恒成立
即b﹣4a（b﹣1）＞0?△=（﹣4a）﹣4×4a＜0?0＜a＜1，∴a的取值范围为
0＜a＜1；
（3）设A（x1，x1），B（x2，x2），则x1+x2=﹣A，B的中点M的坐标为∵A、B两点关于直线
（
，对称，
，
），即M（﹣
，﹣
）
y=kx+
又因为A，B在直线y=x上，
∴k=﹣1，A，B的中点M在直线y=kx+
上．
∴﹣=?b=﹣=﹣利用基本不等式可得
当且仅当a=时，b的最小值为﹣．
22．已知函数f（x）=ax﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．（Ⅰ）若曲线
y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求
2
2
a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【分析】（Ⅰ）由函数，知
（x＞0）．由曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，
能求出a的值．（Ⅱ）
（x）的单调区间．（Ⅲ）对任意
x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），等价于在（0，
（x＞0）．根据a的取值范围进行分类讨论能求出
f
2]上有f（x）max＜g（x）max．由此能求出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数，
∴
（x＞0）．
∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，
解得．
（Ⅱ）
（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），
单调递减区间是（2，+∞）．
②当
时，
，
在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间
上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（
0，2）和
，单调递减区间是
③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
④当时，，在区间
和（2，+∞）上，f'（x）＞0；
在区间
上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．
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辽宁省锦州市高二数学下学期期末试卷文(含解析)
