浙江省单考单招数学常用公式及结论

浙江省高职考数学常用公式及结论

一、集合：

1．撑握交集、并集、补集概念

2．元素与集合的关系：常用符号?,?，例：x?A?x?CUA

?，?，例：?1,2??R 3．集合与集合的关系：常用符号?，4．集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2n 个；真子集有2n?1个；非空子集有2n?1个；非

n空的真子集有2?2个.

5．充要条件 (1)、p?q，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；

（2）、p?q，且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q?p，则P是q的必要不充分条件； （4）、p ≠> p ，且q ≠> p，则P是q的既不充分又不必要条件。

二、不等式： 1．均值定理：

（1）a,b?R?a?b?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． （2）a,b?R??a?b?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

22a?b2)(当且仅当a＝b时取“=”号) 2222．一元二次不等式ax?bx?c?0(或?0)(a?0,??b?4ac?0)，

（3）a,b?R则ab?(?b?b2?4ac 对应方程两根：x1,2? 2a2如果a与ax?bx?c同号，则其解集在两根之外； x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(若x1?x2).

如果a与ax?bx?c异号，则其解集在两根之间. x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(若x1?x2) 简言之：同号两根之外，异号两根之间.即： 3．含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有

2x?a??a?x?a.

x?a?x?a或x??a.

三、函数

1．常见函数的图像：

yyyyk<0ok>0xoa<0xy=ax01y=logax0

（1）分式的分母不等于0；

（2）偶次方根的被开放数大于等于0； （3）对数函数的真数必须大于0；

（4）指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1； （5）x0?1中，x?0;

y=kx+ba>01a>1x

3．常见函数值域

?k?0? 值域：R 2（2）二次函数y?ax?bx?c?a?0?值域：

（1）一次函数y?kx?b?4ac?b2??4ac?b2?,???；当a?0,值域为???,当a?0,值域为?? 4a4a????2注：二次函数y?ax?bx?c(x1?x?x2)

b 先判断对称轴x??是否在给定区间内，

2ab),f(x1),f(x2)，比较判断出最大最小值 若对称轴在区间内：则计算f(?2a若对称轴不在区间内：则计算f(x1),f(x2)，比较判断出最大最小值

k,(k?0,x?0)值域：?y|y?0,y?R? （3）反比例函数y?xcx?dc??,值域：?y|y?,y?R? 推论函数y?ax?ba???x（4）指数函数y?a,(a?0且a?1)的值域：R （5）对数函数y?logax,(a?0且a?1)的值域：R

4．函数单调性:

增函数：(1)文字描述是：y随x的增大而增大。

（2）、数学符号表述是：设（fx）在x?D上有定义，若对任意的

都有

x1,x2?D,且x1?x2，

f(x1)?f(x2)成立，则就叫f（x）在x?D上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。

减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。

（2）、数学符号表述是：设f（x）在x?D上有定义，若对任意的

都有

x1,x2?D,且x1?x2，

f(x1)?f(x2)成立，则就叫f（x）在x?D上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。

5．函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：

定义：在前提条件下，若有f(?x)??f(x)， 则f（x）就是奇函数。

性质：（1）、奇函数的图像关于原点对称；

（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间； 偶函数：

定义：在前提条件下，若有f(?x)?f(x)，则f（x）就是偶函数。 性质：（1）、偶函数的图像关于y轴对称；

（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间； 6．二次函数

b24ac?b2y?ax?bx?c?a(x?)?(a?0)的图像是抛物线：

2a4abb4ac?b2,)；（1）顶点坐标为(?（2）对称轴x??

2a2a4a4ac?b2若a?0,开口向上，顶点坐标对应函数值：y最大?

4a4ac?b2若a?0,开口向上，顶点坐标对应函数值：y最小?

4a27．二次函数的解析式的三种形式：， (1) 一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0);

(2) 顶点式f(x)?a(x?m)2?n(a?0);（当已知抛物线的顶点坐标(m,n)时，设为此式） (3) 两点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0)；（当已知抛物线与x轴的交点坐标为

(x1,0),(x2,0)时，设为此式）

考试常见条件： 对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,

a?b则函数f(x)的对称轴是x?

28．分数指数幂与根式的性质： (1)amn?nam（a?0,m,n?N?，且n?1）.

mn（2）a??1mn?1na（3）(na)n?a.

am（a?0,m,n?N?，且n?1）.

（4）当n为奇数时，nan?a；当n为偶数时，an?|a|??n?a,a?0.

??a,a?09．指数式与对数式的互化式: logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0).

指数性质： (1)1、ar?p?s10mnmna?0a?1 ； （2）、（） ； (3)、a?(a) par?s(4)、a?a?ax(a?0,r,s?Q) ； (5)、a?nam ；

mn指数函数：y?a(a?0,a?1)

(1)、 y?a(a?1)在定义域内是单调递增函数；值域：R

（2）、 y?a(0?a?1)在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1） 对数性质：

(1)、 logaM?logaN?loga(MN) ；（2）、 logaM?logaN?loga(3)、 logabm?m?logab ；(4)、 logamb?nx?xM ； Nn?logab ； (5)、 loga1?0 m(6)、 logaa?1 ； (7)、 a对数函数： y?logax(a?0,a?1)

loagb?b

(1)、 y?logax(a?1) 在定义域内是单调递增函数；值域：R

（2）、y?logax(0?a?1)在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）

10．对数的换底公式 :logaN? 对数恒等式：anlogmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).

logmalogaN?N(a?0,且a?1, N?0).

推论 logamb?nlogab(a?0,且a?1, N?0). mM?logaM?logaN; NnNn?logaN(n,m?R)。

m11．对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

(1)loga(MN)?logaM?logaN; (2) loga(3)logaMn?nlogaM(n?R); (4) logam四、向量

1．平面向量的坐标运算：

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2). (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2). (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).

(4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2). 2．平面两点间的距离公式：

dA,B=|AB|??(x2?x1)2?(y2?y1)2 (A(x1,y1)，B(x2,y2)).

3． 向量的平行与垂直 ：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则：

a||b?b=λa ?x1y1???(其中分母不为0). x2y2a?b (a?0)? a·b=0?x1x2?y1y2?0.（对应相乘和为零）

4．向量共线：（定义1）a与b方向相同或相反，或者有一个是零向量 （定义2）a与b共线?存在唯一的实数?，使得b=λa 五、数列

1．等差数列：

通项公式：（1） an?a1?(n?1)d ，其中a1为首项，d为公差，n为项数，an为末项。

（2）an?Sn?Sn?1(n?2) （注：该公式对任意数列都适用）

前n项和：（1）Sn?n(a1?an) ；其中a1为首项，n为项数，an为末项。 2（2）Sn?na1?n(n?1)d 2（3）Sn?Sn?1?an(n?2) （注：该公式对任意数列都适用） （4）Sn?a1?a2??an （注：该公式对任意数列都适用）

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 am?an?ap?aq ；

注：若am是an,ap的等差中项，则有2am?an?ap?n、m、p成等差。 （2）、若?an?、?bn?为等差数列，则?an?bn?为等差数列。 （3） 1+2+3+?+n=

2．等比数列：

通项公式：（1） an?a1qn?1n(n?1) 2?a1n?q(n?N*) ，其中a1为首项，n为项数，q为公比。 q（2）an?Sn?Sn?1(n?2) （注：该公式对任意数列都适用）

前n项和：（1）Sn?Sn?1?an(n?2) （注：该公式对任意数列都适用）

（2）Sn?a1?a2??an （注：该公式对任意数列都适用）

(q?1)(q?1)

?na1? （3）Sn??a1(1?qn)?1?q?常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 am?an?ap?aq ；

注：若am是an,ap的等比中项，则有 am?an?ap?n、m、p成等比。

六、排列、组合与二项式定理

1． 分类计数原理（加法原理）：N?m1?m2?2?mn. 分步计数原理（乘法原理）：N?m1?m2??mn.

n！*m2． 排列数公式 ：An=n(n?1)?(n?m?1)=.(n，m∈N，且m?n)．规定0!?1.

(n?m)！Anmn(n?1)?(n?m?1)n！*m3． 组合数公式：Cn=m==(n∈N，m?N，且m?n).

1?2???mm！?(n?m)！Amn?mm?1m0组合数的两个性质:(1)Cn=Cn ;(2) Cn+Cn=Cn?1.规定Cn?1.

mm4． 二项式定理 (a?b)?Cna?Cnan0n1n?12n?22rn?rrnnb?Cnab???Cnab???Cnb ;

mn?mm1，2，n). 二项展开式的通项公式Tm?1?Cnab(m?0，f(x)?(ax?b)n?a0?a1x?a2x2??anxn的展开式的系数关系：

a0?a1?a2??an?f(1)； a0?a1?a2?n?Cn?2n n?1?(?1)nan?f(?1)；a0?f(0)。

012二项式系数之和：Cn?Cn?Cn?奇次项系数之和=偶次项系数之和=202即：Cn?Cn?13?Cn?Cn?

?2n?1

中间项：n?2m为偶数，中间项只Tm?1一项；n?2m?1为奇数中间项有Tm?1、Tm?2二项 七、三角函数

1．重要三角不等式：

（1）若x?(0,(2) 若x?(0,?2)，则sinx?x?tanx.

?2(3) |sinx|?|cosx|?1.

)，则1?sinx?cosx?2. 2．同角三角函数的基本关系式 ：sin??cos??1，tan?=

22sin?， cos?3． 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 4． 和角与差角公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin?;cos(???)?cos?cos?sin?sin?;

tan(???)?tan??tan?.

1tan?tan?b ). aasin??bcos?=a2?b2sin(???)

(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决定,tan??5． 二倍角公式

sin2??sin?cos?.

cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?.

2tan?tan2??. 21?tan?1?cos2?1?cos2?sin2??,cos2??

226． 三角函数图像 yy=sinx-π1y=cosxπ/2π3π/22πy1-π/2-2π-3π/2o-1x-2π-3π/2-π-π/2o-1π/2π3π/22πx

7．正弦型函数

函数y?Asin(?x??)，x∈R (A,ω,?为常数，且A?0)的周期T?8．正弦定理：

2?； 值域：??A,A? |?|abc?a:b:c?sinA:sinB:sinC ??sinAsinBsinC9．余弦定理：

a2?b2?c2?2bccosA;b2?c2?a2?2cacosB;c2?a2?b2?2abcosC.

10．面积定理：

（1）S?111absinC?bcsinA?casinB. 22211．三角形内角和定理 ：

在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)

?C?A?B???2C?2??2(A?B). 222x1?x2?x3y1?y2?y3,). 3312．三角形的重心坐标公式： △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),

则△ABC的重心的坐标是G(八、立体几何

1．证明直线与平面的平行的思考途径:

（1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.

2．证明直线与平面垂直的思考途径:

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。 3．证明平面与平面的垂直的思考途径：

（1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直；

(3) 转化为两平面的法向量平行。

4．判断斜线与平面所成角：斜线与它在平面内射影所成角?1

5．判断平面与平面所成角：（1）角的顶点O在公共边l上 （2）AO?l,BO?l

所以：?AOB为二面角???的平面角

6．正四面体的边长为a，则高

623a，正四面体的体积为a，表面积3a2 312

如图：

7．几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，l为母线）：

'S直棱柱侧面积?ch S圆柱侧?2?rh S圆锥侧面积??rl

S圆柱表?S侧?2S底?2?r?r?l? S圆锥表?S??rr?? l 侧?底?SS球面=4?R

8．柱体、锥体、台体和球的体积公式：

2112 V=43 V柱?S底h V圆柱?S??2r h V锥?S hV??rh?R底h球底圆锥333九、解析几何

1． 直线斜率公式 ：

k?tana?y2?y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.倾斜角a,(0?a?180?)

x2?x1A Bx1?x2y1?y2,) 22当a?90?，斜率不存在。

一般式：Ax?by?C?0，斜率k??2． 线段中点坐标公式 ：设P12的中点P(1(x1,y1)，P2(x2,y2)， PP(x2?x1)?(y2?y1) 两点间距离公式：|PP12|?3． 直线的五种方程：

k（1）点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为)．

（2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距).

22y?y1x?x1(y1?y2)(P?1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2,y1?y2)).

y2?y1x2?x1xy(4)截距式 ??1(a、b分别为直线的横、纵截距，a?0、b?0)

ab（5）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).

|Ax0?By0?C|4． 点到直线的距离 ：d?(点P(x0,y0),直线l：Ax?By?C?0).

22A?B（3）两点式

5．两直线位置关系 ⑴当两条直线的斜率都存在时：

l1：y?k1x?b1，l2：y?k2x?b2，

平行：l1//l2?k1?k2且b1?b2； 垂直：l1?l2?k1?k2??1。

当有一条直线斜率不存在时，若l1//l2，则另一条直线斜率也不存在；若l1?l2，则另一条直线斜率为0。

⑵用一般式表示两条直线平行或垂直：

l1：A1x?B1y?C1?0，l2：A2x?B2y?C2?0，

平行：l1//l2?A1B2?A2B1且AC12?A2C1， 垂直：l1?l2?A1B2?A2B1?0。 两平行直线间距离：d?6．圆的方程：

|C2?C1|A?B22（注：两平行直线A、B须一致）

（1）圆的标准方程 (x?a)2?(y?b)2?r2. 圆心坐标(a,b)，半径r

（2）圆的一般方程 x2?y2?Dx?Ey?F?0(D?E?4F＞0).

22DED2?E2?4F圆心坐标(?,?)，半径r? 2227．点与圆的位置关系：点P(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种：

(a?x0)2?(b?y0)2，则d?r?点P在圆外; d?r?点P在圆上; d?r?点P在圆内.

8．直线与圆的位置关系：直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有

Aa?Bb?C三种(圆心到直线距离d?):

22A?Bd?r?相离???0;d?r?相切???0;d?r?相交???0.

若d?过圆x?y?r上一点M?x0,y0?的切线方程为x0x?y0y?r2

222过圆外一点M?x0,y0?作圆的切线有两条

9．两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?d，则：

d?r1?r2?外离;

d?r1?r2?外切;

内含内切r2-r1相交外切相离r1+r2r1?r2?d?r1?r2?相交; d?r1?r2?内切; 0?d?r1?r2?内含.

odddd10．椭圆图像及几何性质 中心在原点，焦点在x轴上 标准方程 x2y2??1(a?b?0)22ab P 图 形 A1 y B2 O F2 B1 A2 中心在原点，焦点在y轴上 y2x2 ??1(a?b?0)22abx y B2 P F2 O F1 B1 F1 A1 A2 x 顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 A1(?a,0),A2(a,0)B1(0,?b),B2(0,b) A1(?b,0),A2(b,0)B1(0,?a),B2(0,a) x轴，y轴；短轴为2b，长轴为2a F1(?c,0),F2(c,0) F1(0,?c),F2(0,c) |F1F2|?2c(c?0) c2?a2?b2 离心率 e?c(0?e?1)（离心率越大，椭圆越扁） a

11 双曲线图像及几何性质 中心在原点，焦点在x轴上 标准方程 x2y2?2?1(a?b?0) 2ab中心在原点，焦点在y轴上 y2x2?2?1(a?b?0) 2abP y F2 P 图 形 y x O A2 F2 顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 准 线 渐近线 x??B2 O B1 F1 x F1 A1 A1(?a,0),A2(a,0) B1(0,?a),B2(0,a) x轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a F1(?c,0),F2(c,0) |F1F2|?2c(c?0) ce?a2c2F1(0,?c),F2(0,c) ?a2?b2 c(e?1)（离心率越大，开口越大） a y??a2c bax y??x abxyx2y2b (1)若渐近线方程为y??x???0?双曲线可设为2?2??.

abaab2222xyxy(2)若双曲线与2?2?1有公共渐近线，可设为2?2??

abab（??0，焦点在x轴上，??0，焦点在y轴上）. 12．抛物线图像及几何性质：p?0

焦点在y轴上， 焦点在y轴上， 焦点在x轴上， 焦点在x轴上， y?? 开口向右 y2?2px 开口向左 y2??2px 开口向上 开口向下 标准 方程 x2?2py y P F O x x2??2py l 图 形 O y P x F P y l x F O l P y O F x l 顶 点 对称轴 焦 点 离心率 准 线 焦准距 x??p 2x?p2O(0,0) x轴 pF(,0) 2y轴 F(?p ,0)2pF(0,) 2pF(0,?) 2e?1 y??p2 y?p 2p（焦点到准线的距离） 13 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB?或由方程?(x1?x2)2?(y1?y2)2（已知相交点A、B坐标） ?y?kx?b2 消去y得到Ax?Bx?C?0

?F(x,y)?0? |A|??B2?4AC?0,k为直线的斜率，弦长d?1?k2