设XY为二维随机变量F xy 为其分布函数若存在一个非负可积的二元函数f xy 使对任意实数xy有则称XY为二维连续型随机变量
要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限
要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F xy 以及形如等联合概率值P64 例3
要会根据联合概率密度求出的边缘密度类似 P64 例4 要会根据联合概率密度求出相应的期望方差协方差相关系数等 3联合概率分布以及联合密度函数的一些性质 12
要会根据这些性质解类似P68 第56题 4常用的连续型二维随机变量分布
二维均匀分布设G是平面上的有界区域其面积为A若二维随机变量XY具有概率密度函数则称XY在G上服从均匀分布
5独立性的判断
定义设随机变量XY的联合分布函数为F xy 边缘分布函数为若对任意实数xy有
1离散型随机变量的独立性 ①由独立性的定义进行判断 ②所有可能取值有则X与Y相互独立 2连续型随机变量的独立性 ①由独立性的定义进行判断 ②联合概率密度 边缘密度
有几乎处处成立 则X 与Y相互独立 3 注意与第四章知识的结合 X与Y相互独立 因此 X与Y不独立
6．相互独立的两个重要定理
定理1 随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独立即对任意实数集AB有
定理2 如果随机变量X与Y独立则对任意函数相互独立 1要求会使用这两个定理解决计算问题 练习题
习题2-3 第34题 习题2-4 第2题 习题32 第578题 总习题三 第491-4 1213 第四五章知识点
设总体密度函数如下是样本试求未知参数的矩估计值最大似然估计值
1
由此可推出
从而参数的矩估计值为 2似然函数为 其对数似然函数为
由上式可以看出是的单调增函数要使其最大的取值应该尽可能的大由于限制这给出的最大似然估计值为
将关于求导并令其为0得到关于的似然方程 解得
第四章重要知识点
1随机变量X数学期望的求法 1离散型 2连续型
2随机变量函数g X 数学期望的求法 1离散型 2连续型 3二维随机向量期望的求法 1离散型 2连续型
4随机变量X方差的求法 1简明公式 2离散型 3连续型
5 随机变量X协方差与相关系数的求法 1简明公式 2离散型 3连续型 4
6数学期望方差协方差重要的性质
1
2 设X与Y相互独立则 3
若X与Y相互独立则 4 5 6
若X与Y相互独立则
7 若XY服从二维正态分布则X与Y相互独立当且仅当 7 n维正态分布的几个重要性质
1n维正态变量的每个分量都是正态变量反之若都是正态变量且相互独立则是n维正态变量
2n维随机向量服从n维正态分布的充分必要条件是的任意线性组合均服从一维正态分布均服从一维正态分布其中不全为零
3若服从n维正态分布设是的线性函数则服从k维正态分布 4设服从n维正态分布则相互独立等价于两两不相关 练习题
设XY的联合密度函数为求及 解 同理 又因 从而
习题43第10题 8中心极限定理
1定理4棣莫佛拉普拉斯定理
设随机变量相互独立并且都服从参数为的两点分布则对任意实数有
2定理3独立同分布的中心极限定理 设随机变量相互独立服从同一分布且 则
练习题习题4-4 11题 12题 总习题四 242526题 第五章重要知识点
确定或求证统计量所服从的分布 1三大分布
1分布设是取自总体N 01 的样本称统计量服从自由度为n的分布
2t分布设XN 01 且X与Y相互独立则称服从自由度为n的t分布
3F分布设且X与Y相互独立则称服从自由度为mn的F分布 2三大抽样分布
1设总体是取自X的一个样本为该样本的样本均值则有 2定理2设总体是取自X的一个样本与为该样本的样本均值与样本方差则有
与相互独立
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理
